При абсолютном нуле движение электронов не прекращается. В силу принципа Паули электроны заполняют все состояния с импульсом, меньшим граничного  , названного импульсом Ферми. Кинетическая энергия электрона, соответствующая данному импульсу,  , называется энергией Ферми. Граничная энергия и импульс, отделяющие занятые состояния от незанятых, в силу принципа Паули растут с числом частиц.
С повышением температуры небольшое число электронов будет переходить из состояний с p < pF в состояния с p > pF . Резкая граница в импульсном пространстве, отделяющая занятые состояния от незанятых, будет расплываться. Возбуждение электронного газа будет характеризоваться появлением электронов с p > pF и свободных состояний (дырок) с импульсом p < pF (удаление заряда эквивалентно появлению заряда противоположного знака). На рис. 4 показано распределение электронов по энергии при Т = 0 (рис. 4, а) и  (рис. 4, б). Функция распределения, называемая функцией Ферми, при абсолютном нуле T = 0 K представляет собой резкую ступеньку, все электроны находятся внутри сферы в пространстве импульсов радиуса (рис. 4, в). Поверхность, отделяющая занятые состояния от свободных, называется поверхностью Ферми. В модели свободных (не взаимодействующих с кристаллической решеткой и друг с другом) электронов это сфера (рис. 4, в). Уровень Ферми и поверхность Ферми - реальные физические величины, которые могут быть измерены экспериментально. Это важные понятия, так как многие свойства металлов определяются поведением электронов вблизи поверхности Ферми.
 |
Рис. 4. Функция распределения электронов по энергии (функция Ферми): а - при T = 0 K ступенька, состояния с Е < EF заняты; б - при  состояния вблизи ЕF частично заполнены; в - сфера в пространстве импульсов радиуса pF - сфера Ферми.
|
Электроны в атоме имеют определенные дискретные значения (уровни) энергии. При сближении атомов друг с другом и при образовании кристалла у электронов появляется возможность обмениваться местами, проходить через потенциальные барьеры. В результате таких переходов одинаковые уровни энергии расщепляются, причем разность соседних уровней энергии определяется энергией взаимодействия атомов друг с другом. Число атомов в одном кубическом сантиметре кристалла N ~ 1022. Каждый атомный уровень расщепляется на N уровней, расстояния между которыми тем меньше, чем больше N. В пределе  они сливаются, образуя зоны разрешенных значений энергии, ширина которых тем больше, чем больше взаимодействие между соседними атомами. На каждый уровень в зоне в соответствии с принципом Паули можно поместить два электрона с противоположными спинами, а всего в зону - 2N электронов. Зонное состояние электрона похоже и на состояние электрона в атоме, и на состояние свободного электрона, поскольку он может перемещаться от атома к атому.
Таким образом, состояние электрона в кристалле будет описываться заданием номера зоны, которой он принадлежит, и квазиимпульсом, определяющим его энергию в зоне. Выше уже отмечалось, что понятие квазиимпульса является важным и подчеркивает его отличие в твердом теле от импульса свободной частицы. Так как квазиимпульс - вектор, удобно говорить о пространстве квазиимпульсов, или p-пространстве (как для свободных электронов). Если зона заполнена электронами, то это означает, что в р-пространстве данной зоны все места заняты электронами: в каждой точке пространства по два электрона. Если зона заполнена частично, то в р-пространстве есть свободные от электронов области. Поверхность равных энергий, отделяющая занятые состояния от свободных, и есть поверхность Ферми.
Электроны могут изменять свой квазиимпульс, если им есть куда перемещаться в р-пространстве. Если же все р-пространство занято электронами, то подобный процесс невозможен - принцип Паули это запрещает. Поэтому кристаллы, у которых есть частично заполненные зоны, должны проводить электрический ток - это металлы. Металлическое состояние возникает и тогда, когда перекрываются заполненные и пустые зоны.
Кристаллы, у которых есть только полностью заполненные и полностью пустые зоны, являются изоляторами, или диэлектриками. Те из изоляторов, у которых при тепловом возбуждении заметное число электронов попадает в пустую зону, называются полупроводниками и могут проводить ток при конечных температурах. Возможна ситуация, когда при абсолютном нуле зоны незначительно перекрываются. Такого рода объекты называются полуметаллами (например, висмут, олово) и ведут себя при низких температурах как металлы, а при высоких как полупроводники. У полуметаллов объем, охватываемый поверхностью Ферми, мал по сравнению с объемом ячейки р-пространства, доступным для электронов.
У бесщелевых полупроводников, у которых расстояние между заполненной и пустой зонами равно нулю, поверхность Ферми - линия или точка. У изоляторов площадь поверхности Ферми равна нулю - ее просто нет.
Энергия электрона в кристалле уже не квадратичная функция импульса, как для свободных электронов. Вследствие периодических сил, действующих на каждый электрон со стороны ионов, она сложным образом зависит от квазиимпульса. Поэтому поверхность Ферми уже не сфера, как для свободного электронного газа. У легкого натрия это деформированная сфера. Для более тяжелых металлов она принимает более причудливую форму. Для переходных металлов, у которых в формировании связи участвуют и внутренние, d-электронные, оболочки атомов (переходные металлы), поверхность Ферми представляет собой монстр, который довольно трудно экспериментально восстановить и изобразить. В качестве примера на рис. 5 показаны поверхности Ферми ряда элементов.
 | Рис. 5. Примеры поверхностей Ферми некоторых металлов.
|
Возбуждение электронной системы кристалла (например, при приложении электрического поля) всегда связано с появлением элементарных возбуждений. В простейшем случае это означает, что один из электронов приобретает энергию и, следовательно, переходит в какую-либо точку р-пространства, свободную от электрона. Для этого в металле электрону необязательно переходить в пустую зону: оставаясь в той же зоне, он может увеличить свою энергию. При этом в ранее занятой точке р-пространства появится свободное место - дырка. Дырка ведет себя как положительно заряженная частица, то есть как античастица по отношению к электрону. Это естественно, поскольку, когда все электроны под воздействием поля двигаются направо, дырка, оставаясь на том же месте, перемещается относительно электронного фона налево. Частицы и дырки возникают при таком описании как элементарные возбуждения электронной подсистемы и возникают всегда парами. В строгой теории их называют квазичастицами, подчеркивая, таким образом, отличие от свободных частиц.
Слово "дырка" имеет еще один смысл. Из-за особенностей закона дисперсии - зависимости энергии от импульса в кристалле - в энергетической зоне в основном состоянии могут существовать свободные от электронов состояния, имеющие ту же энергию, что и занятое. Электроны, попавшие на свободные места в зоне, ведут себя уже как дырки, то есть как положительно заряженные частицы. Поверхность Ферми для этих состояний будет дырочной. В общем случае поверхность Ферми может иметь и электронные и дырочные участки (карманы).
В физике металлов форма поверхности Ферми играет важную роль. Она определяет кинетические (электропроводность, термо-ЭДС и т.д.), оптические, равновесные термодинамические свойства металлов. Изменение формы поверхности Ферми, нарушение ее связности (так называемые электронные топологические переходы) могут привести к существенному изменению свойств. Поэтому на изучение поверхности Ферми металлов, их сплавов и интерметаллических соединений тратится много экспериментальных и теоретических усилий.
Назад | Вперед
Посмотреть комментарии[1]
|
