Научная Сеть >> Гамильтониан

Наука >> Физика >> Общие вопросы >> Справочники >> Физическая энциклопедия | Словарные статьи

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Физические основы строения и эволюции звезд: fig50

Основы квантовой механики: Стационарные состояния

"О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов: hamilt

Основы квантовой механики: Уравнение Паули

Уравнение Власова-Эйнштейна и его квантование: Глава III. Квантование уравнения Власова-Эйнштейна.

Амплитуда рассеяния

Оператор Гамильтона

Уравнение Власова-Эйнштейна и его квантование: Уравнение Клейна-Гордона-Фока

Бардина - Купера - Шриффера модель

Динамические системы: консервативные и неконсервативные динамические системы

Векторный ток

Гамильтониан
2.04.2002 22:42 | Phys.Web.Ru

Гамильтониан (оператор Гамильтона) - квантовомеханический оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике и определяющий эволюцию квантовой системы. В представлении Шредингера эта эволюция описывается зависимостью от времени вектора состояния $\mid \psi>$ системы, который удовлетворяет уравнению Шредингера

$i\cdot \hbar\cdot \frac {\partial } {\partial t}\mid \psi>=\hat{H}\mid \psi>$ , (1)
где $\hat{H}$ - гамильтониан. Если классическая функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она является интегралом движения и значение ее совпадает с энергией системы. Соответственно гамильтониан системы в этом случае является оператором энергии. Уравнение (1) при этом имеет частные решения в виде стационарных состояний $\mid \psi>=exp(-i\cdot \varepsilon\cdot t / \hbar)|\varphi_{\varepsilon}>$ , где вектор состояния $\mid \psi>$ не зависит от времени и является собственным вектором гамильтониана, соответствующим значению энергии $\varepsilon$ :

$\hat{H}|\varphi_{\varepsilon}>=\varepsilon|\varphi_{\varepsilon}>$ (2)
Урaвнение (2) определяет спектр энергии системы.

Оператор производной по времени физической величины f также выражается через коммутатор гамильтониана системы с оператором $\hat{f}$ данной физической величины:

$\frac{d\hat{f}}{dt}=\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}]$ . (3)
Уравнение (3) используется для описания эволюции системы в представлении Гейзенберга. Оно является квантовомеханическим аналогом уравнения для классической функции f, зависящей от координат q_k и импульсов р_k системы:

$\frac {df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{H,f\}_{кл}$ , (4)
где $\{H,f\}_{кл}$ - классическая скобка Пуассона,
$\{H,f\}_{кл}=\sum\limits_{k=1}^{N}(\frac{\partial f}{\partial q_{k}}\frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\frac{\partial f}{\partial p_{k}}\frac{\partial H}{\partial q_{k}})$
(N - число степеней свободы системы). Сравнение формул (3) и (4) показывает, что в классическом пределе коммутатор $[\hat {H},\hat{f}]$ должен переходить в $-i\hbar\{H,f\}_{кл}$ ,

$[\hat {H},\hat{f}]\longrightarrow -i\hbar\{H,f\}_{кл}$ . (5)
Аналогичные соотношения должны выполняться для коммутаторов операторов, соответствующих и другим классическим физическим величинам. В согласии с этим гамильтониан физической системы получается из классической функции Гамильтона заменой классических координат и импульсов частиц на соответствующие операторы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям. При этом возникает неоднозначность в последовательности записи некоммутирующих операторов в выражениях, отвечающих произведению классических величин, которая устраняется симметризацией этих выражений, например $p_{i}q_{i}$ заменяется на $\frac{1}{2}(\hat{q_{i}}\hat{p_{i}}+\hat{p_{i}}\hat{q_{i}})$ .

Приведем гамильтониан для простейших систем:

а) частица массы m во внешнем потенциальном поле $V(x,y,z)$ :
$\hat{H}=\frac{\hat{p_{x}}^2+\hat{p_{y}}^2+\hat{p_{x}}^2}{2m}+V(x,y,z)$ , где $\hat{p_{x}}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ и т.д.;

б) система n частиц с парным взаимодействием $V_{ij}(|\vec r_{i}- \vec r_{j}|)$ :
$\hat{H}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\hat{p_{i}}^2}{2m_{i}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}V_{ij}(|\vec r_{i}- \vec r_{j}|)$

Аналогично в квантовой теории взаимодействующих полей (т. е. в динамических системах с бесконечным числом степеней свободы) гамильтониан системы получается из классической гамильтоновой функции полей заменой классических величин {например, амплитуд нормальных колебаний) соответствующими операторами. Возникающая при этом неопределенность в порядке записи произведений некоммутирующих операторов позволяет выбрать такую последовательность (т. н. нормальное произведение), которая естественным образом определяет физический вакуум системы (см. Квантовая теория поля).

Если физическая величина f не зависит явно от времени $(\frac{\partial f}{\partial t}=0)$ , то условием ее сохранения, согласно (3), является обращение в нуль коммутатора оператора этой величины с гамильтонианом системы, $[\hat {H},\hat{f}]=0$ т. е. условие одновременной измеримости данной величины и энергии системы.

Если гамильтониан системы обладает какой-либо симметрией, то оператор, осуществляющий преобразования симметрии, коммутирует с гамильтонианом. Соответственно этому каждой симметрии гамильтониана отвечает закон сохранения определенной величины (см. теорема Нетер). Так, симметрии гамильтониана относительно сдвигов и поворотов системы в пространстве соответствуют законы сохранения импульса и момента импульса системы, симметрии гамильтониана относительно отражения координат частиц - сохранение пространственной четности системы и т. д. Симметрия гамильтониана приводит, как правило, к вырождению уровней энергии.

Поскольку гамильтониан отвечает физической величине (функции Гамильтона или энергии), он является эрмитовым оператором. Эрмитовость гамильтониана обеспечивает сохранение нормы вектора состояния (т. е. полной вероятности). Однако для описания процессов с поглощением частиц (например, процессов рассеяния адронов на ядрах) могут быть использованы комплексные потенциалы, соответствующие неэрмитовым гамильтонианам (см. Оптическая модель ядра).

Написать комментарий