Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.phys.msu.ru/upload/iblock/dcb/2011-00-00-shevtsova.pdf Дата изменения: Tue Nov 15 16:05:47 2011 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:00:32 2012 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

Шевцова Екатерина Сергеевна

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011


Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова. Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент П.И. Пронин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук П.А. Эминов, кандидат физико-математических наук Д.В. Быков

Ведущая организация: Ярославский Государственный Университет, г.Ярославль

Защита состоится " " 2011 г. в час. на заседании Диссертационного Совета Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова (119991, г. Москва, Ленинские ). горы, д. 1, стр. 2, физический факультет МГУ, ауд. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. Автореферат разослан " " 2011 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук

Ю.В. Грац


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Суперсимметрия является одним из наиболее выдающихся достижений физики высоких энергий. После ее открытия оказалось, что, благодаря теоремам о неперенормировке, поведение суперсимметричных теорий в ультрафиолетовой области существенно улучшается. К примеру, оказалось, что в теории ЯнгаМиллса с N = 4 суперсимметрией расходимости вообще отсутствуют, а в теориях с N = 2 суперсимметрией расходимости имеются только в однопетлевом приближении. Даже в теории ЯнгаМиллса с N = 1 суперсимметрией существенно улучшается ультрафиолетовое поведение по сравнению с несуперсимметричным случаем. А именно, исчезают квадратичные расходимости. Кроме того, в таких теориях, в соответствии с теоремой о неперенормировке, нет квантовых поправок к суперпотенциалу. Поэтому такие модели оказываются весьма привлекательными. По аналогии с калибровочной теорией взаимодействия элементарных частиц (Стандартной моделью ВайнбергаСаламаГлэшоу) представляется возможным построить ее суперсимметричное обобщение Минимальную Суперсимметричную Стандартную модель. При этом суперсимметричные модели для описания физики частиц дают интересные предсказания в области низких энергий. Так, они предсказывают существование суперсимметричных партнеров всех известных частиц: каждому известному бозону (фермиону) должен соответствовать фермион (бозон). Если суперсимметрия не нарушена, то для всех частиц Стандартной модели должны существовать суперпартнеры, массы которых равны массам соответствующих частиц. Это явно противоречит экспериментам, благодаря чему естественно предположить, что суперсимметрия должна быть нарушена. Однако, частицы-суперпартнеры до сих пор не обнаружены. Наиболее вероятной причиной этого считается большая разница в массах частиц Стандартной модели и их суперпартнеров. Предположительно, при нарушении суперсимметрии массы суперпартнеров оказываются очень большими и выходят за пределы современных экспериментальных возможностей. Если суперсимметрия действительно существует в природе, обнаружение легчайших суперпартнеров должно произойти в ближайшее десятилетие на Большом Адроном Коллайдере (LHC) в ЦЕРНе. Тем не менее, в настоящее время уже получены косвенные экспериментальные доказательства существования суперсимметрии в Стандартной
3


модели. В соответствии с современными представлениями, Стандартная модель является низкоэнергетическим пределом некоторой, так называемой теории Великого объединения, характеризующейся единой константой связи. Следовательно, константы фундаментальных взаимодействий (электро-слабого и сильного) должны оказаться равными друг другу при определенной энергии. Это свойство не справедливо в Стандартной модели, но с достаточно хорошей точностью выполняется в Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели. Экстраполяция констант связи в область высоких энергий позволяет с существующей сейчас точностью найти точку их объединения на масштабе M 1016 ГэВ. В настоящее время это открытие является наиболее интересным косвенным экспериментальным подтверждением существования суперсимметрии в Стандартной модели. Существует и ряд других. Суперсимметрия привлекательна как с теоретической точки зрения, так и в связи с косвенными экспериментальными подтверждениями. Поэтому исследования в этой области в настоящее время являются особенно актуальными. По современным представлениям, по-видимому, физика при энергиях порядка 1 ТэВ, описывается с помощью Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели. В связи с этим, дальнейшее исследование суперсимметричных теорий, безусловно, заслуживает внимания. При этом, динамика суперсимметричных теорий оказывается весьма нетривиальной. Отметим, например, такие важные результаты в этой области, как суммирование ряда инстантонных поправок в N = 2 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса или обнаружение связи N = 4 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса с теорией струн, компактифицированной на многообразие AdS5 Ч S5 , получившей название AdS/CFT-соответствия. Интересно также отметить, что, как оказалось, N = 8 суперсимметричная теория ЯнгаМиллса конечна в трехи четырехпетлевом приближениях несмотря на существование возможных расходящихся слагаемых. В N = 1 суперсимметричных теориях оказывается возможным построить точную -функцию, предложенную Новиковым, Шифманом, Вайнштейном и Захаровым (НШВЗ):

() = -

2 [3C2 - T (R)(1 - ())] , 2 (1 - C2 /2 )

где () аномальная размерность суперполя материи, а величина T (R) определяется представлением калибровочной группы. При этом, расходимости присутствуют во всех порядках теории возмущений.
4


Таким образом, исследование квантовых поправок в суперсимметричных теориях является интересной и нетривиальной проблемой. Однако, прежде, чем квантовать теорию и вычислять квантовые поправки, необходимо фиксировать калибровку и проводить процедуру регуляризации. Вопрос о регуляризации в суперсимметричных теориях не является тривиальным. Действительно, размерная регуляризация, явно нарушает суперсимметрию и, следовательно, не удобна для исследования суперсимметричных теорий. Большая часть вычислений была сделана с помощью размерной редукции, которая является модификацией размерной регуляризации. Размерная редукция явно не нарушает суперсимметрию, однако, является внутренне противоречивой, благодаря чему ее применение может повлечь за собой появление различных артефактов. В диссертационной работе используется регуляризация с помощью высших ковариантных производных. Она является непротиворечивой и не нарушающей суперсимметрию, но ее использование часто связано со значительными техническими трудностями. Поэтому такая регуляризация до недавнего времени использовалась крайне редко. является изучение квантовых поправок в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса при использовании различных вариантов регуляризации высшими ковариантными производными и вычисление двухпетлевой -функции этой теории. Кроме того, целью работы является исследование вопроса о том, выполнение каких условий гарантирует совпадение точной -функции с точной -функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова на примере N = 1 суперсимметричной электродинамики.
Целью диссертационного исследования Научная новизна

В диссертационной работе впервые с использованием регуляризации высшими ковариантными производными вычислена двухпетлевая функция для наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса. При этом показано, что эта -функция совпадает с точной -функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова. Проверено, что при использовании регуляризации высшими ковариантными производными, все интегралы, которые определяют -функцию, сводятся к интегралам от полных производных и могут быть сведены к интегралам меньшего порядка. В двухпетлевом приближении это позволяет легко их вычислить. Частично такую закономерность удалось объяснить в N = 1 суперсимметричной электродинамике с помощью подстановки решений тождеств СлавноваТейлора в уравнения ШвингераДайсона. Однако,
5


для полного доказательства оказывается необходимым предположить существование некоторого дополнительного тождества (равенства нулю некоторого вклада в двухточечную функцию Грина калибровочного поля), которое, в свою очередь, приводит к определенному ограничению на трех- и четырехточечные функции Грина, которое впервые получено в диссертационной работе.
Научная и практическая значимость работы

Полученные результаты могут быть использованы для исследования ренормгруппового поведения бегущих констант связи в суперсимметричных моделях теории поля и, в частности, в Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели или суперсимметричных теориях Великого объединения. При этом применение регуляризации высшими ковариантными производными помогает избежать проблем, к которым может приводить в высших петлях противоречивость регуляризации с помощью размерной редукции. Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИРАН, МГПУ имени В.И.Ленина.
Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на научных ломоносовских конференциях (Москва 2008, 2009), 14-ой ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва 2009), а также на кафедре теоретической физики МГУ.
Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех основных глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации A составляет 109 страниц текста, набранного в издательской системе LTEX.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении производится обзор литературы по тематике диссертации, формулируются цели исследования и описывается структура диссертационной работы.
6


В Главе 1 приведены основные сведения о суперсимметричных калибровочных теориях: от алгебры суперсимметрии до N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса и суперсимметричной электродинамики как ее частного случая. Здесь описывается метод фонового поля для квантования суперсимметричной теории ЯнгаМиллса, а также приводятся используемые обозначения для ренормгрупповых функций. В параграфе 1.1 описана алгебра суперсимметрии, в явном виде приведены генераторы алгебры при действии на суперполя. Здесь рассматриваются ключевые понятия, связанные с суперсимметрией. Рассматривается суперполевой формализм, а также подход в терминах компонентных полей. Формулируется теорема о равенстве бозонных и фермионных степеней свободы. Показано, как с помощью суперполей можно строить суперсимметричные действия. В параграфе 1.2 описывается наиболее общая N = 1 суперсимметричная теория ЯнгаМиллса. А именно, представлено действие модели в суперпространстве, преобразования симметрии, относительно которых это действие инвариантно. Приведен частный случай данной модели N = 1 суперсимметричная электродинамика. В параграфе 1.3 рассматривается формализм фонового поля для суперсимметричных теорий. Здесь записано действие модели в методе фонового поля, и указаны его фоновая и квантовая инвариантности, вводятся необходимые для квантования фоновые поля, фоновые ковариантные производные, исследуется их поведение при калибровочных преобразованиях. С их помощью оказывается возможным введение удобного для практических применений способа регуляризации теории. Определения -функции и аномальной размерности приведены в параграфе 1.4. посвящена вопросам регуляризации и квантования наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса. Здесь сформулированы правила Фейнмана для данной теории. В параграфе 2.1 кратко описаны преимущества и недостатки применения различных способов регуляризации в суперсимметричных теориях. Обосновывается нетривиальный выбор регуляризации высшими ковариантными производными. Затем подробно проводится процедура квантования наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории Янга Миллса в соответствии с методом ФаддееваПопова. При этом последовательно вводятся духовые поля ФаддееваПопова и НильсенаКаллош. В действие теории вводятся регуляризующие слагаемые, члены, фиксирующие калибровку и действие духовых полей. Также описывается дополниГлава 2

7


тельная регуляризация ПаулиВилларса для ликвидации остаточных однопетлевых расходимостей, для чего в производящий функционал добавляются детерминанты ПаулиВилларса. В итоге строится производящий функционал и эффективное действие, что дает возможность вывести правила Фейнмана. Правила Фейнмана построены в параграфе 2.2. Здесь же приводится результат для индекса расходимости произвольной диаграммы. посвящена вычислениям диаграмм, дающих вклад в функцию наиболее общей N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. Метод построения двухпетлевой -функции приводится в параграфе 3.1, здесь же введены все необходимые обозначения. С использованием техники суперграфов в параграфе 3.2 вычисляются однопетлевые диаграммы с петлей суперполей материи, дающие вклад в функцию. При этом показано, что интегралы, определяющие -функцию, оказываются интегралами от полных производных и могут быть легко вычислены. В параграфе 3.3 приведен пример вычисления двухпетлевых диаграмм. Здесь же записан результат для двухпетлевой -функции в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса. Приведены результаты вычисления интегралов, определяющих -функцию в этом приближении, и показана их факторизация в полные производные. Вычисленная описанным методом -функция в рассматриваемом приближении совпадает с точной -функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова. Другой способ регуляризации высшими ковариантными производными, при котором регуляризуются только пропагаторы, но не регуляризуются вершины с квантовым полем, рассмотрен в параграфе 3.4. Здесь подчеркивается отличие правил Фейнмана и интегралов от предыдущего варианта, рассмотренного в диссертационной работе и приводится результат для соответствующей -функции.
Глава 3

посвящена исследованию -функции во всех порядках теории возмущений в N = 1 суперсимметричной электродинамике. В параграфе 4.1 обосновывается введение в действие слагаемых с дополнительными источниками. Приводится вывод уравнений Швингера Дайсона и их графическое представление. Проводится анализ полученных выражений и входящих в них величин. Для устранения остаточных расходимостей проведена процедура регуляризации ПаулиВилларса.
Глава 4

8


Тождества Уорда (СлавноваТейлора) и их решения найдены в параграфе 4.2. Подставляя полученные решения в уравнения ШвингераДайсона, удается получить выражение для двухточечной функции Грина калибровочного поля точно во всех порядках теории возмущений. Как следствие, знание двухточечной функции Грина позволяет определить точную -функцию. Тем не менее, согласовать результат с результатом Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова возможно только в том случае, если предположить выполнение некоторого тождества, полученного в параграфе 4.3. Это тождество представляет собой равенство нулю некоторого вклада в двухточечную функцию Грина калибровочного поля. В этом параграфе приведена графическая формулировка этого тождества. В параграфе 4.4 на примере N = 1 суперсимметричной электродинамики полученное тождество удается переформулировать в виде равенства нулю суммы некоторых двухпетлевых эффективных диаграмм. Таким образом, оно накладывает некоторые нетривиальные ограничения на трех- и четырехточечные функции Грина. Если же полученные ограничения не выполняются, то -функция будет отличаться от точной НШВЗ -функции. В Приложении A приводятся результаты для двухпетлевых диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса с кубичным взаимодействием и осуществляется проверка факторизации интегралов, определяющих -функцию, в интегралы от полных производных. В Приложении B показано, что факторизация подынтегральных выражений имеет место в N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса с использованием сокращенного варианта регуляризации высшими производными. А именно, в случае, когда регуляризуются только пропагаторы, но не регуляризуются вершинные функции. В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. В наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной ЯнгаМиллса впервые применен метод вычисления квантовых вок с использованием регуляризации высшими ковариантными водными, который является непротиворечивым и не нарушает симметрию.
9

теории попрапроизсупер-


2. Проведенное в диссертации исследование применения регуляризации высшими производными для вычисления квантовых поправок в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории Янга Миллса позволяет выявить, что все двухпетлевые интегралы, которые определяют -функцию, оказываются интегралами от полных производных и могут быть сведены к интегралам меньшего порядка. В двухпетлевом приближении это позволяет легко их вычислить. 3. С помощью регуляризации высшими ковариантными производными и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая -функция в наиболее общей перенормируемой N = 1 суперсимметричной теории ЯнгаМиллса. 4. Для N = 1 суперсимметричной электродинамики показано, что точная -функция Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова совпадает с -функцией, вычисленной при использовании регуляризации высшими производными, только если справедливо соотношение, которое связывает между собой трех- и четырехточечные функции Грина. Это соотношение сформулировано на языке эффективных диаграмм Фейнмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.

А.Б.Пименов, А.А.Солошенко, К.В.Степаньянц, Е.С.Шевцова

, Регу-

ляризация высшими производными и квантовые поправки в N = 1 суперсимметричных теориях. // Известия ВУЗов. Физика 2008. 51. 5. с. 5 35. 2. , Новое соотношение, связывающее функции Грина N = 1 суперсимметричной электродинамики. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2009. 3. с. 19 22.
К.В.Степаньянц, Е.С.Шевцова

3.

, Структура двухточечной функции Грина калибровочного поля в N = 1 суперсимметричной теории Янга Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2009. 5. с. 13 15.
К.В.Степаньянц, Е.С.Шевцова A.B.Pimenov, E.S.Shevtsova, K.V.Stepanyantz

4.

, Calculation of two-loop -function for general N = 1 supersymmetric YangMills theory with the higher covariant derivative regularization. // Phys. Lett. B 686. 2010. p. 293 297.
10