Сотрудники кафедры

Программы курсов

Научная работа школьников

Наши достижения в 1999-2000 учебном году

Кафедра физики готовит команды для участия в:

Одно обобщение чисел Каталана и некоторые их свойства (секция математики)

(Королев Максим)

Работа посвящена рассмотрению следующей комбинаторной задачи: имеется набор символов, состоящий из k1 букв "f ", k2 букв "g", k3 букв "X", k4 пар скобок (...) и k5 запятых ",". Предполагается, что через f и g обозначены некоторые функции от одной и двух переменных соответственно. Из символов данного набора составляются всевозможные выражения типа f(T1), g(T2, T3), где аргументы T1, T2, T3 могут быть "иксами" (X) или же сами иметь вид f(Ti) или g(Tj, Tk). При этом в записи каждого такого выражения участвуют все символы данного набора. В работе определяется количество таких выражений для произвольного данного набора: приводится вывод формулы для искомого числа как функции от параметров k1, ... , k5.

Последовательности, задаваемые полученными формулами, можно рассматривать как некое обобщение широко известных в комбинаторике чисел Каталана. Сами числа Каталана получаются из выведенных в работе формул как частный случай - для этого необходимо изначально положить равным 0 параметр k1. Одной из интересных проблем, возникающих при работе с этими числами, является поиск закономерностей, которым подчиняются члены этой последовательности, рассматриваемые по простому модулю p. Этот вопрос также рассматривается в докладе, при этом для случая p=2 эта закономерность устанавливается.