Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/PracticumCM/PracticumCM_N04.pdf Дата изменения: Wed Apr 30 16:25:21 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:38:35 2016 Кодировка: Windows-1251

Кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Специальный практикум по небесной механике. Задача No. 4. Емельянов Н. В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ НА ГЕОСТАЦИОНАРНЫЙ СПУТНИК

Содержание 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Введение в задачу практикума. Постановка задачи. Системы координат, применяемые в задаче. Определение геоцентрической широты и геоцентрического расстояния геостационарного спутника. 1.5. Порядок вычисления искомых величин. 1.6. Методическое указание о формулировке задачи каждому студенту. 1.7. Форма отчета по задаче практикума. 1.8. Примеры вычислений. Литература. Приложение. Вывод формул связи между земной экваториальной и горизонтальной системами прямоугольных координат.

1


1.1.

Введение в задачу практикума.

Человеком создано много искусственных небесных тел. Нужны они для изучения окружающей нас Вселенной, а также для улучшения условий жизни людей на Земле. В частности, для обеспечения радиосвязи по всей Земле в диапазоне ультракоротких радиоволн служат искусственные спутники Земли (ИСЗ). На спутниках устанавливают ретрансляторы радиосигналов. Таким образом обеспечивается прием телевизионных передач на всей Земле. Наиболее подходящими для этой цели оказываются спутники, движущиеся на геостационарных орбитах. Один геостационарный спутник может обеспечить постоянный прием телевизионного сигнала на огромной части поверхности Земли. Такие ИСЗ остаются почти неподвижными относительно поверхности нашей планеты. Поэтому для приема радиосигнала со спутника на Земле устанавливают антенны с чувствительностью в узком телесном угле в направлении на спутник. Это дает выигрыш в мощности принимаемого сигнала и в информативности радиоканала. Направление антенны на геостационарный спутник остается неизменным. Все эти обстоятельства приводят к проблеме точного наведения антенны на спутник. Геостацинарные спутники можно видеть только с помощью мощных телескопов ночью в очень хорошую погоду. На практике необходимо наводить антенны в любых условиях, даже на балконах жилых домов. Естественно приходит идея рассчитать направление на известный геостационарный спутник в заданной точке на поверхности Земли. Поскольку ИСЗ является небесным телом, то первоначально расчет направления делается на основе методов небесной механики. Азимут и высота спутника над горизонтом используются для предварительного наведения антенны. Более точная настройка может делаться путем вариаций направления для получения наилучшего приема телевизионного сигнала. Весьма вероятно, что для решения описанной задачи на каком-то этапе может быть привлечен выпускник Астрономического отделения физфака МГУ. Чтобы научить его это делать, служит предлагаемая задача практикума.
1.2. Постановка задачи.

Задача N G1 формулируется следующим образом. Для заданнного места на Земле требуется определить азимут и угловую высоту над 2


горизонтом заданного геостационарного спутника. Место на Земле задается географическими координатами. Спутник может идентифицироваться только долготой подспутниковой точки на экваторе Земли. Введем обозначения для заданных и искомых величин. Пусть даны 0 - географическая широта наземной точки, 0 - географическая долгота, осчитываемая от Гринвичского меридиана, s - долгота подспутниковой точки. Требуется определить следующие величины: A - азимут спутника, H - угловая высота спутника над горизонтом. Для определенности будем измерять угловые величины в градусах. Азимут отсчитывается от южного направления меридиана в сторону востока от 0 до 360 градусов. В данной задаче можно пренебречь несферичностью Земли. Широту и долготу будем измерять в геоцентрической системе координат. Радиус Земли R примем равным 6378 км. Для решения задачи необходимо знать положение спутника в пространстве. Однако нам дана только одна его координата долгота. Информация о том, чему равны широта и геоцентрическое расстояние геостационарного спутника содержится в его названии.
1.3. Системы координат, применяемые в задаче.

Поскольку геостационарный спутник неподвижен по отношению к поверхности Земли, мы будем применять экваториальную систему декартовых координат, связанную с Землей. Ось z направим от центра Земли в сереный полюс, ось x в Гринвичский меридиан, а ось y будет дополнять систему координат до правой. Наряду с рассмотренной геоцентрической земной экваториальной системой координат рассмотрим горизонтальную систему координат, связанную с плоскостью горизонта данной точки на поверхности Земли. Здесь мы будем применять упрощенное понятие горизонта как плоскости, перпендикулярной геоцентрическому радиусу-вектору пункта на земной поверхности. В дальнейшем пункт на поверхности Земли, в котором располагается антенна, направленная на спутник, будем называть такжек обсерваторией. Оси горизонтальной системы координат с началом в точке наблюде3


ний обозначим через x , y , z . Ось x направим в плоскости горизонта по местному меридиану на юг, а ось z - в зенит. Обозначим через 0 , 0 долготу и широту точки поверхности в земной экваториальной системе координат. Тогда связь между земной экваториальной и горизонтальной системами координат выразится соотношениями

x = x cos 0 sin 0 + y sin 0 sin 0 - z cos 0 , y = -x sin 0 + y cos 0 , z = x cos 0 cos 0 + y sin 0 cos 0 + z sin 0 - R,

(1)

где R - геоцентрическое расстояние точки наблюдения. Вывод этих соотношений дается в Приложении 1. Формулы обратного перехода имеют вид

x = x sin 0 cos 0 - y sin 0 + (z + R) cos 0 cos 0 , y = x sin 0 sin 0 + y cos 0 + (z + R) cos 0 sin 0 , z = -x cos 0 + (z + R) sin 0 .

(2)

1.4.

Определение широты и геоцентрического расстояния

геостационарного спутника.

Геостационарный спутник почти неподвижен относительно земной поверхности. Это происходит от того, что Земля вращается, а спутник движется синхронно вокруг Земли почти в плоскости экватора по почти круговой орбите. Его движение подвержено влиянию различных факторов: нецентральности гравитационного поля Земли, притяжению Луны и Солнца, световому давлению. Поэтому если бы можно было запустить спутник точно на круговую орбиту в плоскости экватора Земли, через некоторое время его траектория перестала бы быть круговой и вышла бы из плоскости экватора. Чтобы выполнять свои функции ретранслятора, орбита спутника корректируется орбиту время от времени с помощью микродвигателей по командам с Земли. В задаче практикума мы будем пренебрегать отклонениями спутника от точной геостационарной орбиты. При этом спутник должен двигаться в плоскости экватора. Следовательно его небесная широта известна и равна нулю. Из предположения о геостационарности спутника сразу находится период его обращения. Он равен периоду вращения Земли, т. е. звездным суткам. Отсюда определяется среднее движение спутника

n = 1.002737811906325 оборот/сутки.
4


Что касается геоцентрического расстояния спутника, то теперь его можно найти по закону небесной механики. Обозначим большую полуось орбиты спутника через a. В нашем случае это радиус орбиты, а следоватнльно и геоцентрическое расстояние. Третий закон Кеплера формулируется так: n2 a3 = Gm, где G - универсальная гравитационная постоянная, а m - масса Земли. Можно приближенно принять

Gm = 398601.3 км3 /с2 .
Теперь вполне хватает данных, чтобы вычислить геоцентрическое расстояние спутника a.
1.5. Порядок вычисления искомых величин.

Сначала находим прямоугольные координаты спутника в геоцентрической системе:

x = a cos s , y = a sin s , z = 0.
Далее по формулам (1) вычисляем координаты спутника x , y , z в горизонтальной системе координат с началом в заданном наземном пункте. Далее искомые небесные угловые координаты спутника вычисляются по формулам

y z tg A = , tg H = 2 x x + y

2

.

Для однозначного определения A следует учесть, что cos A имеет тот же знак, что и x .
1.6. Методическое указание о формулировке задачи каж-

дому студенту

Формулировка задачи для каждого студента заключается в задании значений величин: 0 - широта наземной точки наблюдения, 0 - долгота, осчитываемая от Гринвичского меридиана, s - долгота подспутниковой точки. Это могут быть любые значения в пределах возможных. 5


Для реализации метода и выполнения практикума можно предложить студенту составление вычислительной программы на любом языке программирования.
1.7. Форма отчета по задаче практикума.

Каждому студенту предлагается один вариант исходных данных. После решения задачи студент должен подготовить письменный отчет по следущему плану: 1. Введение (О чем идет речь? Почему возникают рассматриваемые проблемы? Зачем это нужно?). 2. Постановка задачи (Цель исследования. Что дано? Что определить?). 3. Описание последовательности вычислений с приведением применяемых формул. 4. Задание исходных данных. 5. Полученные результаты. В целом такой отчет может иметь объем 2-3 страницы.

6


1.8.

Примеры вычислений.

Пример 1. Исходные данные: 0 = 55.0 град., 0 = 37.0 град., s = 15.0 град. Результаты вычислений: a = 42164.202626042599 км, A = 333.746335059321 град., H = 24.197165673464 град. Пример 2. Исходные данные: 0 = 45.0 град., 0 = 67.0 град., s = 55.0 град. Результаты вычислений: a = 42164.202626042599 км, A = 343.269202452725 град., H = 36.804744895847 град. Пример 3. Исходные данные: 0 = 66.0 град., 0 = 35.0 град., s = 40.0 град. Результаты вычислений: a = 42164.202626042599 км, A = 5.470433967700 град., H = 15.522337715346 град.

7


Литература

1. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Издание 2-е, переработанное и дополненное. / Под ред. Г.Н.Дубошина. М.: Наука, 1976, 862 с.

8


Рис. 1: Геоэкваториальная, горизонтальная и промежуточные системы координат.
Приложение. Вывод формул связи между земной экваториальной и горизонтальной системами координат.

Выведем здесь формулы связи между земной экваториальной и горизонтальной системами координат. Оси этих систем координат и промежуточных систем изображены на Рис. 1. На рисунках G обозначает геоцентр, а T положение пункта наблюдения или топоцентр. Начало земной экваториальной системы координат x , y , z расположено в геоцетре, а начало земной горизонтальной системы x , y , z в топоцентре. Оси x , z лежат в меридиональной плоскости, проходящей через топоцентр, причем ось x направлена в плоскости горизонта в сторону юга, а ось z направлена в зенит. Ось y дополняет систему координат до правой и направлена в плоскости горизонта в точку востока. Рассмотрим дополнительно две промежуточные системы координат. Система G, x , y , z геоцентрическая, оси x , y лежат в плоскости земного экватора, ось x напрвлена по меридиану пункта наблюдения. Очевидно, что связь между системами x , y , z и x , y , z выразится формулами x = x cos 0 + y sin 0 , y = -x sin 0 + y cos 0 , (3) z =z, где 0 - географическая долгота пункта наблюдения. 9


Рассмотрим еще одну промежуточную геоцентрическую систему координат G, x , y , z . Оси x , z лежат на меридиане пункта наблюдения, ось z направлена в топоцентр, ось y дополняет систему до правой. Легко видеть на Рис.1, что системы координат x , y , z и x , y , z связаны формулами

x = x sin 0 - z cos 0 , y = y , z = x cos 0 + z sin 0 .

(4)

Очевидно, что сиситемы координат G, x , y , z и T , x , y , z различаются сдвигом на величину геоцентрического расстояния R пункта наблюдения. Таким образом имеем

x = x , y = y , z = z - R.

(5)

Теперь, подставляя формулы (3) в (4), а затем в формулы (5). получим соотношения (1).

10