4. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
4.1. Многомерные
случайные величины и их функции распределения
Совокупность m
функций, определенных на одном и
том же множестве
элементарных событий, называется m
- мерной случайной
величиной . Многомерная случайная величина полностью
определяется ее функцией распределения
вероятностей
![](Prob4img/Image588.gif)
удовлетворяющей следующим условиям:
0£
F(x1,:,xm)£ 1;
F(x1,:,xm)
не убывает по каждому
аргументу;
;
;
,
где F(xi)
- функция распределения одномерной
случайной величины .
Одномерные случайные величины и называются независимыми, если их
совместная (двумерная) функция распределения равна произведению одномерных
функций распределения
F (xi,
xj)=F(xi)F(xj)
4.2. Дискретные многомерные случайные величины
Многомерная случайная величина называется
дискретной, если составляющие ее случайные величины являются
дискретными.
Многомерная дискретная случайная величина полностью
определяется набором значений вероятностей
![](Prob4img/Image595.gif)
заданных для любой комбинации значений случайных величин . Функция распределения в этом случае выражается
через вероятности следующей формулой:
![](Prob4img/Image599.gif)
Рассмотрим в качестве примера двумерную случайную величину
, принимающую
значения (xi, уj), i=1,:,k, j=1,:,l.
Вероятности всех возможных пар значений (xi,
уj) можно представить в виде таблицы:
![](Prob4img/Image541.gif)
|
![](Prob4img/Image521.gif)
|
|
y 1 |
|
yj |
|
Yl |
Итог |
x 1 |
p 11 |
|
p 1j |
|
p 1l |
p 1. |
: |
|
|
|
|
|
|
xi |
pi 1 |
|
pij |
|
pil |
pi . |
: |
|
|
|
|
|
|
xk |
pk 1 |
|
pkj |
|
pkl |
pk . |
Итог |
p .1 |
|
p .j |
|
p .l |
|
В итоговых строке и столбце записаны суммы по столбцам и по
строкам:
![](Prob4img/Image601.gif)
Итоговый столбец определяет одномерное (маргинальное)
распределение случайной величины , а итоговая строка - одномерное (маргинальное)
распределение случайной величины .
Если разделить все вероятности j - го столбца на итоговую
вероятность , то получим условные вероятности значений
при условии :
![](Prob4img/Image604.gif) ,
определяющие условное распределение случайной
величины при фиксированном значении
другой случайной величины равном yj. Аналогично определяется условное
распределение при заданном значении .
Если для любых ![](Prob4img/Image453.gif) , то случайные величины и являются независимыми.
4 .3. Непрерывные
многомерные случайные величины
Многомерная случайная величина называется непрерывной, если
непрерывна ее функция распределения и существует непрерывная почти всюду функция
плотности , такая, что
![](Prob4img/Image609.gif)
Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину
с плотностью
f(x, у) и
функцией распределения F(x, у). Одномерное
(маргинальное) распределение получается путем интегрирования по
у двумерной плотности
![](Prob4img/Image611.gif)
Аналогично определяется маргинальная плотность
![](Prob4img/Image612.gif)
Условная плотность случайной величины при заданном значении случайной величины
задается
формулой
![](Prob4img/Image614.gif)
откуда .
Аналогично условное распределение задается формулой
![](Prob4img/Image616.gif)
откуда .
Непрерывные случайные величины будут независимыми, если
![](Prob4img/Image618.gif)
Характеристикой связи случайных величин и является коэффициент корреляции.
Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных
величин и называется
![](Prob4img/Image619.gif)
где - ковариация и . Если , то случайные величины и называются некоррелированными.
Свойства коэффициента корреляции:
- Для любых случайных величин
и .
Если и - независимые случайные величины, то
(обратное, вообще говоря, неверно).
или -1тогда и только тогда, когда случайные величины
и связаны линейной
зависимостью .
Двумерным нормальным распределением называют
распределение вероятностей двумерной непрерывной случайной величины , если функция
плотности имеет вид
![](Prob4img/Image626.gif)
где - некоторые параметры. Можно доказать,
что и - нормально распределенные случайные
величины, - их математические ожидания и
дисперсии, а - коэффициент корреляции случайных величин и .
Действительно, если составляющие двумерной нормально
распределенной случайной величины и некоррелированы, то . Тогда функция плотности равна
![](Prob4img/Image638.gif)
Следовательно, если составляющие двумерной нормально
распределенной случайной величины некоррелированы, то они и независимы. Таким
образом, для составляющих двумерного нормального распределения понятия
независимости и некоррелированности равносильны.
Пусть у нас имеются п случайных
величин . Рассмотрим новую
случайную величину , где - некоторая функция. Тогда функция распределения
случайной величины задается (в случае, когда - непрерывные случайные величины)
формулой
![](Prob4img/Image642.gif)
где - функция плотности n - мерной случайной величины , а - область n - мерного
пространства такая, что .
Математическое ожидание равно
![](Prob4img/Image647.gif)
Предположим теперь, что . Тогда, как нетрудно проверить, воспользовавшись
свойствами математического ожидания и дисперсии,
![](Prob4img/Image649.gif)
![](Prob4img/Image650.gif)
Пусть теперь независимы и одинаково распределены. Обозначим
, тогда .
Если мы теперь дополнительно предположим, что каждая случайная
величина , то можно доказать, что
случайная величина нормально распределена и,
следовательно, .
ЛИТЕРАТУРА
Компьютерная Биометрика. М., МГУ, 1990.
Голикова Т. Никитина Е., Терехин А., Математическая статистика. М., МГУ,
1981.
Гмурман В., Теория вероятностей и математическая статистика. М.: 'Высшая
школа', 1977.
Мешалкин Л., Сборник задач по теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1963.
Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1, М.: Мир,
1964; Т.2. М.: Мир, 1967.
|