Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/deviations.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:51:26 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:30:26 2012 Кодировка: koi8-r

1. Введение

Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных
профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных
величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых
значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки
погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно
измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой
результатов косвенных измерений). По целому ряду объективных причин знания
выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда
достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из
таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по
статистической обработке результатов измерений.
К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен
исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок,
учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете
погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено
дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство
работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение
выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание
краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто
употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.

2. Обозначения, принятые в данной работе

[pic]-измеряемая величина, [pic]-среднее значение измеряемой величины,
[pic]- абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины, [pic]
- относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

3. Расчет погрешностей непосредственных измерений

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же
величины [pic] в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать
среднее значение этой величины в проведенных измерениях:
[pic] (1)
Как вычислить погрешность [pic]? По следующей формуле:
[pic] (2)
В этой формуле используется коэффициент Стьюдента [pic]. Его значения
при разных доверительных вероятностях и значениях [pic] приведены в
таблице.


3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

Задача.
Проводили измерения длины [pic] металлического бруска. Было сделано 10
измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм,
10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение [pic]
измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность [pic].

Решение.
С использованием формулы (1) находим:
[pic]мм
Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность [pic]
среднего значения [pic] при доверительной вероятности [pic] и числе
степеней свободы [pic] (используем значение [pic]=2,262, взятое из
таблицы):
[pic]
Запишем результат:
[pic]=10,8±0,70.95 мм

4. Расчет погрешностей косвенных измерений

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины [pic], а
затем c использованием полученных значений вычисляется величина [pic] по
формуле [pic]. При этом погрешности непосредственно измеряемых величин
рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

Расчет среднего значения величины [pic] производится по зависимости
[pic] с использованием средних значений аргументов [pic].

Погрешность величины [pic] рассчитывается по следующей формуле:
[pic], (3)
где [pic]- количество аргументов [pic], [pic]- частные производные функции
[pic]по аргументам [pic], [pic] - абсолютная погрешность среднего значения
аргумента [pic].

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями,
рассчитывается по формуле [pic].

4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

Задача.
Было проведено 5 непосредственных измерений величин [pic] и [pic].
Для величины [pic] получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины
[pic] получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать
значение величины [pic], определяемой по формуле [pic] и найти погрешность
полученного значения.

Решение.
По формуле (1) найдем средние значения величин [pic] и [pic]:
[pic]

Вычисляем [pic]:
[pic]
Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней
свободы [pic] значение [pic]. По формуле (2) рассчитываем погрешности
средних значений величин [pic] и [pic]:
[pic][pic]
С использованием формулы (3) находим относительную погрешность
среднего значения величины [pic]:
[pic]

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины [pic]:
[pic]

Запишем результат:
[pic]