Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/02.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:56 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:52:25 2012 Кодировка: koi8-r

Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и [pic], [pic]; кроме
того
[pic]
Определение: Несобственным интегралом 1рода от f(x) на (a, b] называется
предел:
[pic]
если этот предел существует. В этом случае говорят, что несобственный
интеграл сходится.
Пример:
[pic]
Если ( = 1, то
[pic]
Следовательно, при ( < 1 интеграл
[pic]
[pic]
Аналогично определяется несобственный интеграл, если
[pic]
Определение несобственного интеграла 2 рода:
Пусть [pic]: [pic] и существует предел:
[pic]
Тогда этот предел называется несобственным интегралом 2 рода, т.е.
[pic]
Пример:
[pic]
Если ( = 1, то
[pic]
Следовательно, несобственный интеграл
[pic]
Для исследования сходимости и расходимости несобственных интегралов
применяется признак сравнения:
Пусть функция f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству: [pic]и несобственный
интеграл [pic] сходится. Тогда сходится и несобственный интеграл [pic].
Доказательство: В силу сходимости [pic] по критерию Коши для функции [pic],
выполняется неравенство [pic]. Но тогда, ввиду неравенств: [pic] аналогично
неравенство будет справедливо и для функции f(x), т.е.
[pic]
Следовательно, по критерию Коши существует предел:
[pic], т.е. этот интеграл сходится.
Замечание1: Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных
интегралов 2 рода.
Замечание2: Отрицанием признака сравнения будет следующее утверждение: если
несобственный интеграл [pic] расходится, то расходится и несобственный
интеграл [pic].
Эйлеровы интегралы ((() и (((, ().
Определим функцию ((() равенством:
[pic].
Покажем, что интеграл сходится при ( > 0. Представим этот интеграл в виде
суммы двух интегралов:
[pic]
и докажем сходимость каждого из этих интегралов при ( > 0.
Обозначим [pic] и [pic].
Если x((0, 1], то: [pic]. Так как интеграл [pic], как это было доказано
выше сходится при 1 - (< 1, т.е. при (>0, то по признаку сравнения интеграл
[pic] сходится при (>0. Если x([1, + [pic]) , то для некоторой константы
c>0 выполняется неравенство: [pic].
Заметим, что [pic], т.е. этот интеграл сходится при любых ((R.
Следовательно, функция Эйлера ((() = (1(() + (2(() определена для всех (>0.
Далее, определим функцию (((, () = [pic] и докажем, что эта функция
определена для любых (>0 и (>0.
Обозначим: [pic] и [pic].
Если x((0, 1/2], то [pic]. Интеграл [pic] сходится по признаку сравнения 1
- (<1, т.е. при (>0 и при любых значениях (. Заметим, что, если в интеграле
(2((, () сделать замену t = 1 - x, то мы (1((, (), который, как мы
выяснили, сходится при (>0 и при любых (.
Следовательно, функция Эйлера (((, () = (1((, () + (2((, () определена для
любых (>0 и (>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов
Эйлера:
1) ((1) = 1
2) ((( + 1) = ((((), (>0
3) ((n + 1) = n!, n(N
4) ((()((1 - () =[pic] , 0<(<1
5) ((1/2) = [pic]
6) (((, () = [pic]
Пример:
Вычислить интеграл вероятности [pic].
В силу чётности функции [pic] интеграл вероятности можно представить в
виде:
[pic].
Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл:
[pic]