Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/04.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:57 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:53:11 2012 Кодировка: koi8-r

Интеграл как функция верхнего предела интегрирования.
Формула Ньютона - Лейбница.

Рассмотрим функцию F(x), связанную с функцией [pic]равенством:
[pic]
Теорема 1: Функция [pic]
Доказательство: Пусть [pic] - произвольная точка. Докажем, что [pic]
Рассмотрим разность:
[pic]
Так как [pic], то f(x) ограничена на [a, b], т.е. [pic]
Следовательно, по свойству определённого интеграла [pic]и [pic], что и
требовалось доказать.
Теорема 2: Пусть [pic]и [pic]. Тогда [pic] и [pic].
Доказательство: Рассмотрим следующее выражение:
[pic]
Так как [pic] и по условию [pic], то при [pic]
Следовательно, при [pic] имеют место соотношения [pic] т.е. [pic]
Теорема 2 доказана.
Формула Ньютона - Лейбница.
Теорема: Пусть [pic]. Тогда [pic]и, если F1(x) - любая первообразная для
f(x) на [a, b], то справедливо равенство:
[pic]
(эта формула носит название формулы Ньютона - Лейбница).
Доказательство: Рассмотрим, как и выше, функцию
[pic].
Так как, по условию теоремы [pic], то в силу теоремы 2
[pic], [pic].
Следовательно, F(x) - есть первообразная для f(x) на [a, b].
Заметим, что F(a) = 0 и [pic].
Пусть F1(x) - любая из первообразных для f(x). Как было доказано выше
F1(x) = F(x) + C, где [pic] - некоторая константа.
Запишем разность
[pic]
Теорема доказана.
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема (о замене переменной в определённом интеграле):Пусть [pic] и [pic].
Кроме того: [pic].
Тогда справедлива формула
[pic]
Доказательство:
Пусть F(x) - некоторая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда по свойству
замены переменных в неопределённом интеграле и ввиду формулы Ньютона -
Лейбница [pic]есть первообразная для [pic] на [pic] и справедливо
равенство:
[pic]
Теорема доказана.
Теорема (об интегрировании по частям в определённом интеграле):Пусть [pic].
Тогда справедливо равенство:
[pic].
Доказательство:
Так как первообразной для функции [pic] будет u(x)v(x), то по формуле
Ньютона - Лейбница
[pic]
Левую часть этого равенства можно представить в виде:
[pic]
и, следовательно, имеет место равенство
[pic].
Теорема доказана.