Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/07.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:59:59 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:54:26 2012 Кодировка: koi8-r

Функции нескольких переменных.
Точки в пространстве[pic][pic] будем обозначать векторами [pic] д-
окрестность [pic] точки [pic] будем обозначать множество:
[pic]
Функцией [pic] будем называть отображение: [pic] определенное на
некотором множестве [pic]
Будем говорить, что функция [pic] непрерывна в точке [pic] если
[pic]
Пример функции непрерывной по каждой из переменных, но разрывной по
совокупности переменных в данной точке.
Рассмотрим функцию[pic]
Исследование эту функцию на непрерывность в точке (0,0).
Заметим, что f(0, x2)=f(x1,0)?0, те по каждой из переменных x1 и x2 при
фиксированном значении второй переменной эта функция непрерывна.
Предположим, что [pic] Пусть [pic] и [pic] Если x1=x2, то [pic]
Следовательно, f(x1, x2) разрывна в [pic].
В дальнейшем мы в основном будем рассматривать только функции от двух
переменных f(x, y) для того, чтобы формулировать утверждения и
доказательства было проще.
Дифференцируемость функции f(x, y) в точке (x0, y0).
Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или
сокращенно [pic]), если справедливо равенство:
1) f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + [pic] где [pic]
- некоторые константы, а [pic]
Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет
функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x -
x0) + B(y - y0) + o(x - x0). Следовательно, число A есть производная
функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта производная обозначается так: [pic]
и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x0, y0).
Аналогично: [pic] Таким образом условие дифференцируемости функции f(x,
y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:
f(x, y)=f(x0, y0) ++[pic]+[pic]
Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в
отдельности и при этом не быть дифференцируемой по совокупности
переменных (см. разобранный выше пример разрывной в [pic] функции).
Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции в точке).
Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0)
и f(x, y), [pic] [pic] Тогда [pic]
Доказательство.
Рассмотрим разность: f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0,
y) - f(x0, y0).
Используя формулу Лагранжа, получим равенства:
f(x, y) - f(x0, y) = [pic] f(x0, y) - f(x0, y0) = [pic] где [pic] [pic]
Далее, ввиду непрерывности частных производных [pic]и [pic] в точке
(x0, y0), справедливы соотношения: [pic] и [pic] Следовательно, имеют
место равенства:
f(x, y) - f(x0, y0) = f(x, y) - f(x0, y) + f(x0, y) - f(x0, y0) = [pic]
+ [pic] = [pic] + o(x - x0) + [pic]+ o(y - y0) = [pic]+ [pic]+ [pic]
так как o(x - x0) = [pic] и o(y - y0) = [pic]
Теорема доказана.
Замена переменных.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
При u=v: [pic]