Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/l1.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:55:54 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:56:08 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция N 1

Кратные интегралы



Двойные интегралы

Опр: множество К[pic]Rn называется компактом, если К- ограничено и
замкнуто, т.е. лежит в ограниченном объеме и содержит все свои предельные
точки.
Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс
вместе с границами.
Опр: множество D[pic]Rn называется связным, если не выполняется следующее
свойство:
[pic] D1 , D2 - открытые непустые множества: D1[pic]D [pic]ь, :
D2[pic]D [pic]ь , D[pic]D1[pic]D2, D1[pic]D2 =ь
рис.1 несвязное множество D[pic]
Пример связного множества: связный компакт на прямой- отрезок, связные
компакты на плоскости- квадрат и круг с границами.
Свойства компактов К1 и К2:
1. К1 [pic] К2 также является компактом.
2. К1 [pic] К2 -компакт

Площадь компакта К

[pic] рис.2
Пусть К[pic]Pn , где Pn-многоугольник; либо совокупность многоугольников,
если К состоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника Pn
можно найти сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2):
Sn=[pic].
Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(Pn).
Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь- величина
неотрицательная и ограничена снизу нулем.
Свойства S(K):
1. S(K)[pic]0
2. S(К1 [pic] К2 )=0[pic] S(К1 [pic] К2 )= S(K1) + S(K2)
Примеры:
График непрерывной функции y = f(x) [pic] С[a,b]:
1. K = {(x,y): x[pic] [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.
[pic][pic]
рис.3
Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть mi = [pic] f(x);
Mi = [pic]f(x); [pic]
f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора)[pic]
[pic]> 0 [pic]n0[pic] n0: Mi - mi<[pic].[pic]
Рассмотрим K[pic] Pn :
S (Pn)= [pic][pic] при [pic][pic][pic]
Следовательно, S(K)=0.

2. f(x)[pic]C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x[pic] [a,b] ;0[pic] y [pic]
f(x)}; Площадь под кривой y = f(x), x[pic] [a,b] .
Докажем, что S(K) = [pic]
[pic][pic]
рис.4
Mi = [pic]f(x)
S (Pn)= [pic] [pic] (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная
функция интегрируема).
[pic]
на рис.5 изображен компакт К.
Дадим определение [pic]:
Зададим разбиение Т компакта К:
Т -разбиение компакта К: {K =[pic] Ki: S(Кi [pic] Кj) = 0, i[pic]j}
Выбираем некоторую точку Р([pic]), принадлежащую компакту Кi , [pic] и
зададим интегральную сумму
S (T)= [pic],
Обозначим: d(Ki)=max([pic]),
где [pic]-расстояние и диаметр разбиения: d(T) = [pic].

Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по
компакту К называется:

[pic] = [pic], если такой предел существует.
Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например,
функция Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение
1, а в иррациональных точках значение ноль).

Свойства двойного интеграла (1-5)

1. [pic] = S(K), если f(x,y)[pic]1
2. S(K) = 0[pic][pic]=0, где f- любая ограниченная функция
3. [pic]=[pic][pic]+[pic][pic]
4.S(К1 [pic] К2 )=0[pic][pic][pic]+[pic]
5.m[pic]f(x,y)[pic]M[pic] mS(K)[pic] [pic][pic]MS(K)
6. Если К- связный компакт и f(x,y)[pic]C(K), то
[pic][pic]
доказательство свойств 1-5:

1. [pic]=[pic]
S (Т)= [pic] [pic]=S(K)
2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т:
S(Ki)=0[pic]
S (Т)= [pic][pic][pic]= 0

3. S (Т)= [pic][pic]=[pic]S(T,f) + [pic]S(T,g)
[pic] + [pic].
4. S (Т)= [pic]+ [pic]+[pic][pic]
[pic]+[pic]
5. m[pic]f(x,y)[pic]M
S (Т)= [pic]
mS(K)=m[pic]=MS(K)
mS(K) [pic]MS(K)
6. m[pic], где функция f определена на связном
компакте и принимает все
значения между M и m.
[pic]
Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К:
(f(x,y)>0)
V=[pic]- объем цилиндроида, изображенного на рис.6
[pic]
рис.6
Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует
[pic].
Теорема: Если К = К1 [pic] К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2, т.к.
S(K2)=0
[pic]=[pic]