Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/l3.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:56:01 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:56:52 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция 3

Интеграл Пуассона (интеграл вероятности)

[pic]
Вычислим с помощью двойного интеграла.
[pic]=[pic](по определению)
[pic], [pic], [pic]
[pic][pic]

[pic][pic]=[pic] , где D1-квадрат, D1[pic]D2
[pic]
[pic][pic][pic]=В(R)
D1[pic]D2[pic]D3
C(R)= [pic]
A(R) B(R)= [pic][pic]
A(R) [pic]
A(R) и C(R) имеют один предел при R[pic], т.к. [pic]. Следовательно,
[pic][pic][pic]

Тройные интегралы
Интегрирование на компакте К
[pic]
Определение объема компакта:
[pic]
Разобьем многогранник Pn , содержащий К, на пирамиды. Суммируя объемы
пирамид, найдем объем этого многогранника. Тогда объем заключенного
компакта
[pic] V(K)[pic]
свойство: если V(K1[pic] K2)=0, тогда V(K1[pic] K2)=[pic]
Следовательно, возможно только такое разбиение компакта, при котором
объем границ нулевой (по аналогии с двойным интегралом). В этом случае
разбиение трехмерного компакта осуществляется поверхностями с нулевым
объемом (например, плоскостями):
[pic]
Т- разбиение компакта: [pic] для [pic].
dT-диаметр разбиения: ([pic])
S(T)=[pic]
[pic]=[pic]
Все свойства для двойных интегралов справедливы для тройных интегралов
(доказательства аналогичные). Физический смысл тройного интеграла
заключается в том, что если плотность вещества задана функцией f, то
масса вещества в определенном объеме- это тройной интеграл функции f
по этому объему.
Вычисление тройных интегралов
[pic]

К- компакт-цилиндроид
[pic]=[pic]

Если область интегрирования К- прямоугольный параллелепипед, а функция
представима в виде произведения: f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z), тогда
[pic]
[pic]=[pic]
[pic]

Замена переменных

Аналогично двукратному интегралу, отображение должно быть
взаимооднозначным и, следовательно, якобиан
[pic] [pic][pic][pic]
[pic]=[pic]
Пример 1: (цилиндрические координаты)
[pic]
[pic] [pic]
I(r,[pic],z)=r
Пример 2: (сферические координаты)
[pic] Формулы связи: [pic] I=[pic](якобиан
замены)
Vшара= [pic]=[pic]=[pic]
Пример 3:
[pic]

Плоская область D[pic]XOZ, вращаем ее вокруг оси Oz в цилиндрических
координатах.
Объем тела вращения:
V=[pic]
Mz=[pic] (статический момент инерции области В относительно оси Oz)
Mz=S(D)rc, где rc - расстояние от центра тяжести D (плотность области
D равна 1).
V=[pic]
Таким образом, объем тела вращения области D вокруг неподвижной оси z
равен произведению S(D) на длину окружности, описанной центром тяжести
области D.
Пример 4: (тор)
[pic]

b>a Vтора=[pic], где rc=b.