Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/matan/l4.doc Дата изменения: Thu Jan 15 17:56:02 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:57:17 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция 4

Криволинейные интегралы.


Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.
Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.
Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением
y=y(x).
Как было доказано во втором семестре:
y


|L|=?dl
так
как y = y(x), то
L
[pic]

x
Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если [pic]
Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:
[pic] ,где [pic]

Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми [pic] и [pic].
Для функции [pic] условие непрерывности [pic]в точке х=0
нарушается. Кривая, заданная уравнением:[pic] не имеет конечной длины
(доказать самостоятельно)




Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на
плоскости называется:
[pic] ,где L - кривая, заданная уравнениями [pic]. Докажем корректность
определения:
Сделаем замену: [pic] ,где [pic] и [pic]
[pic] ,где [pic] и [pic],
тогда [pic] ,аналогично и [pic]
[pic],
Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора
параметра.

Опр. Кривая [pic], заданная параметрическими уравнениями [pic]и
[pic]называется гладкой, если функции [pic] и [pic] имеют непрерывные
производные, не обращающиеся одновременно в нуль.

Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая
является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.





Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):
[pic]
[pic] (свойство аддитивности)

Аналогично кривая [pic]задается системой:
[pic] это уравнение кусочнонеперывной кривой


Кривую L будем называть
кривой по пути АВ, т.е. начало
L кривой в точке А и конец в
точке В.




А В
Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в
каком направлении мы интегрируем по прямой от[pic] ,или от [pic].
Опр. Интеграл[pic]называется криволинейным интегралом первого рода по
кривой в пространстве [pic].



Криволинейные интегралы второго типа.

Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл
второго рода будем рассматривать на плоскости (в[pic]).

Криволинейным интегралом второго рода называется[pic],
где [pic]и [pic], [pic].
Точки А и В имеют координаты
А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.
L+ означает, что выбрано положительное
направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл
от А до В имеет положительное значение.
Обозначим [pic]- радиус вектор и
[pic]
Работа по перемещению тела из точки А в точку В

в поле [pic] выражается интегралом:
[pic]
в этом и есть физический смысл интеграла.
Докажем корректность определения:
Делаем замену t=t(u) и [pic],
[pic] и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит
интеграл можно представить в виде:
[pic]
т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.


Свойства:
10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е. [pic] и
[pic]

А




20 [pic] L+ L-
L+=AB


L-=BA
В
Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении:
работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус

в другом направлении

Связь между криволинейными

интегралами 1 и 2 рода.

В
Зададим касательный вектор движения по прямой
[pic]
[pic] [pic]
[pic], [pic]
[pic] А
[pic] ,а этот интеграл является интегралом первого типа.

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в [pic].

Рассмотрим векторное поле [pic], для которого [pic]является радиус
вектором, тогда

[pic], и
[pic]



Кривая L задается системой [pic].

По определению:
[pic],
а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от
выбора параметра доказывается также, как и в [pic].

Пример
Рассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат
и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.

Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную
равной [pic].
[pic], т.е.
[pic]





[pic]

[pic],а
точки А и В имеют координаты [pic] и [pic] соответственно.
[pic]
рассмотрим [pic], тогда [pic], как производная сложной функции от
нескольких переменных, будет равна
[pic] ,для вычисления [pic], представим [pic]и[pic]в виде
[pic], [pic] и [pic],соответственно,
тогда подставив эти выражения в уравнение для [pic], получаем: [pic] , а
так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это
выражение, получаем
[pic]
Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а
зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.