Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.students.chemport.ru/materials/strom/lection9.doc Дата изменения: Thu Jan 15 18:09:30 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:10:41 2012 Кодировка: koi8-r

Лекция 9
R ( x
A - матрица

Ax=y

Произведем некоторое преобразование координат С:

CAx=Cy

CAC-1Cx=Cy
[pic]
[pic] - матрица в преобразованных координатах
[pic]
Определитель матрицы инвариантен относительно преобразования координат.
Кроме того, след матрицы инвариантен относительно преобразования.
След матрицы - [pic] - сумма диагональных элементов матрицы. Sp - (spur
(нем.) - след.) = tr - (trace).
[pic]
[pic]
Этот инвариант называется характером матрицы.
Tg ( A ( ?(A) - ставим в соответствие матрице её характер.
Из всех преобразований выбираем унитарные матрицы (они не меняют длины
векторов). В Rn ортогональные матрицы не меняют длин векторов.
Рассмотрим (x,y) ( (Ox,Oy)=(x,OTOy)
При соответствующем выборе базиса матрицу можно свести к виду:
[pic]
Эту операцию можно проводить до определенного момента. Матрица
неприводимого представления - матрица, которую уже нельзя привести к такому
виду.
[pic]
[pic]
Рассмотрим первые производные:
[pic]
[pic], откуда
[pic]
[pic], где
[pic] - единичная матрица.

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] - задает преобразование исходных функций под действием
преобразований симметрии в новых функциях.
Например, матрица поворота вокруг оси z на угол ?:
[pic]
Данная матрица не сводится к блочно-диагональному виду.
Характеры неприводимых представлений:
Пусть есть два разных неприводимых представления T1 и T2 и g1, g2,.,gN
- совокупность операций симметрии и каждому элементу этой группы в этом
представлении соответствуют матрицы
[pic]
[pic]
[pic], то
[pic] или
[pic], т.е.
характеры двух неприводимых представлений взаимоортогональны.
Если имеется неприводимое представление, которое можно разложить на два
или более неприводимых представлений, то характер этого представления:
[pic]

При использовании материалов лекции ссылка на www.students.chemport.ru
обязательна.