Случайное вырождение, внимание, вопрос=) |
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://wasp.phys.msu.ru/forum/index.php?showtopic=7919
Дата изменения: Unknown Дата индексирования: Sun Apr 10 03:15:25 2016 Кодировка: Windows-1251 |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
![]() ![]() |
Случайное вырождение, внимание, вопрос=) |
![]()
Сообщение
#1
|
|
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 8 Репутация: 1 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
Как известно, при квантовомеханическом движении частицы в центральном поле вида
Сообщение отредактировал M1ke - 4.1.2007, 22:00 |
![]()
Сообщение
#2
|
|
ломовая лошадь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
Никак не доказывается. Так называемое "случайное вырождение" вовсе не
случайно. Оно связано с неправильным определением группы симметрии задачи. В центральном поле общего вида есть симметрия по отношению к любым вращениям, группа симметрии SO(3). Для потенциала 1/r группа симметрии SO(4), а для r2 --- SU(3). Кратности вырождения уровней равны размерностям неприводимых представлений группы симметрии. Если группа симметрии определена неправильно: вместо полной группы используется какая-то подгруппа (например, SO(3) вместо SO(4) для потенциала 1/r), то неприводимые представления полной группы распадаются в сумму неприводимых представлений подгруппы (естественно, меньшей размерности). Вот именно тот факт, что несколько неприводимых представлений подгруппы (составляющих одно неприводимое представление полной группы симметрии) соответствуют одному и тому же значению энергии, и называется случайным вырождением. С точки зрения механики при случайном вырождении появляются дополнительные интегралы движения, не коммутирующие с "очевидными" и (вообще говоря) между собой. Для центрального поля "очевидными" интегралами являются компоненты момента импульса. Для потенциала 1/r к ним добавляются компоненты вектора Рунге---Ленца, а для потенциала r2 --- комбинации вида a+iak, не сводящиеся к моменту импульса (операторы "a" образуются из "p" и "x" по стандартным правилам). Замкнутые траектории в системах, совершающих условно-периодическое движение (к таким системам относится центральное поле), появляются при некоторых условиях вырождения частот. Такие условия как раз следуют из дополнительной симметрии задачи. |
![]()
Сообщение
#3
|
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Элита Сообщений: 4,122 Репутация: 123 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
Цитата(peregoudov @ 21.2.2007, 16:58) Никак не доказывается. Так называемое "случайное вырождение" вовсе не случайно. Оно связано с неправильным определением группы симметрии задачи. В центральном поле общего вида есть симметрия по отношению к любым вращениям, группа симметрии SO(3). Для потенциала 1/r группа симметрии SO(4), а для r2 --- SU(3). Тогда "случайность" связана с тем, что при некоторых n группа расширяется. Вопросы: 1. почему? 2. как? До какой группы? 3. как найти все такие n? -------------------- Формулы выводятся из наблюдений за экспериментами.
Комнатная температура - 0,025 эВ. Атмосферное давление - 0,62 мкэВ/Å[sup]3[/sup]. Видимый свет - 1,7-3,2 эВ. |
![]()
Сообщение
#4
|
|
ломовая лошадь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
2 Munin:
А, понял за что меня в скрытности обвиняют. Ответов на вопросы не знаю. Мне кажется, никакого алгоритма для определения группы симметрии задачи, то есть фактически для нахождения всех первых интегралов, нет и быть не может. Скорее возможно обратное: сконструировать гамильтониан с заранее заданной симметрией. Что касается полей вида rn, то скрытая симметрия есть только у n=-1,2. Доказательства не знаю. |
![]()
Сообщение
#5
|
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Элита Сообщений: 4,122 Репутация: 123 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
Ладно, тогда такой вопрос. Рассмотрим эти потенциалы как классические. Как тогда будут выглядеть для них новые интегралы движения?
-------------------- Формулы выводятся из наблюдений за экспериментами.
Комнатная температура - 0,025 эВ. Атмосферное давление - 0,62 мкэВ/Å[sup]3[/sup]. Видимый свет - 1,7-3,2 эВ. |
![]()
Сообщение
#6
|
|
ломовая лошадь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
Munin:
Как тогда будут выглядеть для них новые интегралы движения? Да я вроде уже писал. Для Кулона --- вектор Рунге---Ленца A=r/r-pxl ЛЛ1, параграф 15, ЛЛ3, параграф 36. Для осциллятора --- комбинации a+iak, ak=2-1/2(xk+ipk). П. В. Елютин, В. Д. Кривченков "Квантовая механика", Москва, Наука, 1976, глава 3, раздел 12. Если рассматривать более общие комбинации bika+iak, нетрудно проверить, что коммутатор (скобка Пуассона) интегралов соответствует коммутатору матриц "b". В качестве них удобно взять матрицы Гелл-Манна. Тогда комбинации с l2, l5, l7 будут компонентами момента импульса, а остальные --- новыми интегралами. Интеграл a+iai не в счет, это гамильтониан. |
![]()
Сообщение
#7
|
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: Элита Сообщений: 4,122 Репутация: 123 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
А. То есть произведения комбинаций рассматривать классически. Хммммм...
-------------------- Формулы выводятся из наблюдений за экспериментами.
Комнатная температура - 0,025 эВ. Атмосферное давление - 0,62 мкэВ/Å[sup]3[/sup]. Видимый свет - 1,7-3,2 эВ. |
![]()
Сообщение
#8
|
|
ломовая лошадь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
P. S. Когда ссылался на Елютина---Кривченкова, имел в виду формулы для "a", а не для интегралов. Как тут редактировать сообщения? Формулы работают и в квантах и в классике.
|
![]()
Сообщение
#9
|
|
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 8 Репутация: 1 Предупреждения: (0%) ![]() ![]() |
2 peregoudov:
Боюсь, Вы отвечали не на мой вопрос. Почему происходит случайное вырождение, я знаю. А вот как доказать, что оно "случится" (т.е. будет дополнительная симметрия) только при данном виде потенциала, а при остальных - нет? |
![]() ![]() |
Текстовая версия | Сейчас: 10.04.2016, 3:15 |