Есть Функция Грина (ФГ), допустим, для фонноных колебаний решетки (допустим неупорядоченной).
Как определить Плотность Состояний (Density of States, DOS) собственных функций рассматриваемой системы зная ФГ?
В книге написано: "чтобы определить полное число состоячний в малой области изменения спектральной переменной $\lambda$, надо вычислить контурный интеграл, рассматривая $\lambda$ как комплексную переменную с бесконечно малой положительной мнимой частью".
Я никак не могу понять что за интеграл такой? Хотя некоторые соображения есть, т.к полюсы ФГ в диагональном представлении совпадают с собственными значениями рассматриваемой системы, т.о видимо речь идет об обходе этих полюсов на комплексно плоскостий. Вот только понимания все равно нет.

Дальше в книге ссылаются на "общую теорему о плотности состояний", согласно которой DOS определяется мнимо частью следа ФГ. И это мне не понятно. Что за теорема такая, где про нее можно почитать? Может кто сталкивался и поможет мне разобраться?

я к сожалению в физику того, что ты написал, ваапще не вдуплил, но если тебе реально хочется хоть какой-нить помощи, то могу посоветовать посмотреть теорию групп. по крайней мере, для упорядоченных (симметричных) систем она точно работает, а то, что матрицу можно привести к частному виду говорит о вырождении в данной системе.
Возможно, написал полную хрень, тк пост почти не понял, но реально хотел помочь.

Не понятно: интегрировать что по чему надо.
Сильное высказывание. Порыскай по квантомеханическим изданиям, поищи словосочетания которые ты приводил: DOS, ФГ (часто называют пропагатором), "общую теорему о плотности состояний". Помнится препод по "основным взаимодействиям" кучу информации на меня вывалил, и что-то подоюное там было.

2 Spinor
Возможно, тебе поможет Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский "Статистическая физика. Часть 2". (9 том). В главе 4 довольно подробно обсуждается, как устроены ФГ (обычная, запаздывающая и опережающая) и как плотность состояний связана с запаздывающей ФГ (это просто ее мнимая часть).