Студенческий форум Физфака МГУ > Вопросы про экзамены (все здесь)

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Вопросы про экзамены (все здесь)

Студенческий форум Физфака МГУ > Физфак и учеба > Форумы групп > 302 группа 2006 года рождения

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Som

20.1.2007, 20:13

$x_n = \frac{\ln n}{ n^\alpha} = \frac{\ln n}{n^{\alpha/2}} \frac{1}{n^{\alpha/2}}$ . Второй множитель - бесконечно малый, первый - ограничен. Чтобы это доказать, можно рассмотреть ф-ю $g(x)=\frac{\ln n}{x^{\alpha/2}}$ , взять производную, ну и там ясно будет, что она ограничена.

Stik

20.1.2007, 20:15

2 Som:
А может там $g(x)=\frac{\ln x}{x^{\alpha/2}}$ ?

Борис

20.1.2007, 20:43

Сложная задача.

Условие: Доказать, что $\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{\ln n}{n^\alpha}\right\}=0$
Решение:
$\begin{array}{l} \lim\limits_{n\to\infty}\left\{\frac{\ln n}{n^\alpha}\right\}=0 \Leftrightarrow\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0 \\\\\\ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=\left[{}_{t=x^\alpha}\right]\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\frac{1}{\alpha}\ln t}{t}=\frac{1}{\alpha}\lim\limits_{t\to\infty}\ln\left({e^{\frac{\ln t}{t}}}\right)=\frac{1}{\alpha}\lim\limits_{t\to\infty}\ln\left( {t^{\frac{1}{t}}}\right)=\frac{1}{\alpha}\lim\limits_{t\to\infty}\ln\left(\frac{1}{{1/t}^{1/t}}\right)=\\\\ =\frac{1}{\alpha}\cdot\ln\left(\lim\limits_{t\to\infty}\left(\frac{1}{{1/t}^{1/t}}\right)\right) = \frac{1}{\alpha}\cdot\ln 1 = 0 \end{array}$

Удав

20.1.2007, 21:36

2 Борис: можно было и без t.
Народ, кто знает, как сделать в 1.6 29-й?

Ааааааааааааааа, точно...

Это же геометрическая прогрессия.

Andre

20.1.2007, 21:39

Господа, а кто-нибудь умеет считать пределы а-ля
$\lim_{x \to 0} \frac {e^{-1/x^2}}{x}$ ?
Это было сегодня на консультации, но я прохлопал. Такую штуку нужно посчитать в 1.6.20, 1.6.21.

Удав

20.1.2007, 21:47

А попробу завести это дело в e ф после рассмотреть простой предел с х и ln х...

Хотя, нет.. Не выйдет.

А если под общий знаменатель?

Andre

20.1.2007, 21:49

2 Удав:
Если я тебя правильно понял, то ты предлагаешь искать
$\lim_{x \to +0} (\frac {1}{x^2} + \ln x)$ ?
Не обнадеживает.

Удав

20.1.2007, 21:50

апывпы

Andre

20.1.2007, 21:51

2 Удав:

Цитата(Удав @ 20.1.2007, 21:50)

А попробуй через определение

Флаг в руки, паровоз навстречу!

Цитата(Удав @ 20.1.2007, 21:50)

апывпы

Если честно, не вполне вас понял.

Удав

20.1.2007, 21:57

Да. Щас попробуем. Есть мыслишка...

Нет, у меня получается бесконечность. И очень упорно.

авыпывы это я стер ту дурь, которую ты к сожалению процитировал.

А ты уверен, что должен быть конечный предел?

Andre

20.1.2007, 22:02

2 Удав:
Во-первых, он есть и равен 0, а во-вторых, его существование вытекает из формулировок 1.6.20, 1.6.21.

Удав

20.1.2007, 22:18

Не знаю. Если придумаю, скажу.

А если ln по Тейлору?

Нет, не пойдет...

А мы можем сказать, что t в 2 возрастает быстрее, чем ln t при t-> к бесконечности?

И из этого сказать, что их разность стремится к беск.?

Andre

20.1.2007, 22:26

А, кстати, можем. Пусть $t = \frac {1}{x}$ . Тогда (по Лопиталю, например) $\ln t = o (t^2)$ при $t \to + \infty$ . Тогда искомый предел равен $\lim_{y \to -\infty} e^y = 0$ . Ура! Спасибо.

Борис

20.1.2007, 23:17

Здесь, вообще-то, считать нечего:
Если $t=\frac{1}{x}$ , то $\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=\frac{e^{-t^2}}{1/t}=\frac{t}{e^{t^2}}$ А последнее уж точно равно 0 - экспонента ж быстрее растет.

Upd: исправил ужасную орфографическую ошибку

Удав

20.1.2007, 23:28

Вообще-то я так и сказал.

Бывай.

Борис

20.1.2007, 23:32

Цитата(Удав @ 20.1.2007, 23:28)

Вообще-то я так и сказал.

Вообще-то, ты так не говорил.

Andre

20.1.2007, 23:44

2 Борис:
Да, красиво. Обещаю плюсик.

Борис

20.1.2007, 23:47

А что такое предельная форма признаков Коши и Деламбера?

Andre

21.1.2007, 0:56

2 Борис:
Они у нас формулировались в двух формах. Одна из них была с пределом. Это и есть предельная форма.

phys

23.1.2007, 19:33

Буду немного не в тему - расскажите как сдали сессию...?

это ваш групповод Федор

Stik

23.1.2007, 19:37

2 phys:
ОПА, кто пришел...

Сессию сдали в общем хорошо...

Круглых отличников не меньше 6 человек, а тройки есть только у 5...

phys

23.1.2007, 19:41

МОЛОДЦА!

smily

18.4.2007, 16:42

Ребят, кто скачал задачи к общему зачету по молекулярке?
Расскажите нам , глупым, как вы это сделали?
(на генфизе, по крайней мере у меня, какие-то глюки...

)

Тапочка

8.1.2008, 20:56

в связи с тем, что 102g умер, ukoz тормозит и формул там нет, единственное удобное место задавать вопросы dubinushka. возможно ли сделать здесь разделы, как это было у нас? все ли знают про ответы к билетам по геофизике? что такое абиабатический градиент плотности? что такое сдвиговая неустойчивость течений?

AndreY

8.1.2008, 20:59

Цитата(Тапочка @ 8.01.2008, 20:56)

что такое абиабатический градиент плотности?

адиабатический

Andre

9.1.2008, 14:47

Адиабатический градиент плотности - это $\left(\frac{\partial \rho}{\partial x^\mu}\right)_s$ , т.е. градиент, посчитанный на адиабате

Ну а сдвиговая неустойчивость - это возникновение вихрей на границе двух потоков с разными скоростями в силу вязкого трения.

zaya

10.1.2008, 23:56

Всем удачи завтра на экзамене!!!! ХОроших билетов)))

Борис

11.1.2008, 19:07

Насколько я понимаю, адиабатический градиент (плотности или температуры) - это градиент, в адиабатически равновесной среде.
Сегодня я был на консультации по ТФКП. Неделько говорит, что наш курс уникальный - обычно он ставит 2 за неправильный ответ на вопрос об области аналитичности функции $|x|^2$ , а сегодня ставил 2 за неправильный ответ на вопрос о мнимой части числа i. Вообще после консультации впечатления удручающие - возникло неприятное ощущуние, что я этот экзамен в ближайшем будущем не сдам... Статистика это подтверджает: у одной из сегодняшних групп по его словам 6 было недопущено к экзамену и 8 получило 2 - таким образом, экзамен сдали меньше половины студентов. Вот такие дела. Ботать надо, однако.

Andre

11.1.2008, 21:05

Здорово... А область аналитичности $|x|^2$ - это ведь плоскость без нуля?

Борис

11.1.2008, 22:37

Эх! Если б я знал!...

Я тебе завтра расскажу!

Andre

13.1.2008, 16:28

Подскажите, пожалуйста, требовалась ли на лекциях непрерывность производной в определении аналитической функции?

Andre

13.1.2008, 19:37

Связь аналитичности и гармоничности частей.
Пусть $f(z)\in C^\infty(G)$ , $f(z)=u(x,y) + i\cdot v(x,y)$ . Т.к. аналитическая функция $f$ имеет в области $G$ производные всех порядков, то и функции $u$ и $v$ имеют в этой области частные производные любого порядка. Тогда в силу соотношений Коши-Римана и теоремы о равенстве смешанных производных, получим
$\begin{array}{l}u_{xx} = - u_{yy} \\ v_{xx} = - v_{yy},\\ \end{array}$
т.е. $\Delta u = 0, \Delta v = 0$ , что по определению и означает, что функции гармонические.

UPD.: В формулировке было избыточное требование. Исправил.

Тапочка

13.1.2008, 19:47

спасибо)))

Andre

13.1.2008, 19:55

А я правильно понимаю, что комплексную степень мы определяем так:
$z^\alpha = \left\{\begin{array}{l}e^{\alpha\mathop{\mathrm{Ln}}z} \qquad\mbox{при } z\ne e, z\ne 0, \\ e^x\cos y + i\cdot e^x\sin y \qquad\mbox{при } z=e, \alpha = x + i\cdot y \\ 0 \qquad\mbox{при } z=0, \alpha>0 \\ 1 \qquad\mbox{при }z=0, \alpha=0\end{array}\right.$

Что-то местный $\LaTeX$ не дружит с многоколоночными массивами

Борис

13.1.2008, 20:19

Как-то ты странно понимаешь:
$\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha = e^{i\alpha}\ne e^\alpha$
И что значит $\alpha \ge 0$ ? $\alpha$ - комплексное число. Что значит >?

Andre

13.1.2008, 20:31

2 Борис
Исправил.

$\alpha\ge 0$ означало, что $0^0=1$ (однако в моем посте было написано неправильно).

Борис

13.1.2008, 20:35

2 Andre Уточнил вопрос.

$z^\alpha = e^{\alpha\mathop{\mathrm{Ln}}z}$
При этом если $\alpha$ целое функция получается однозначной; если рациональное - то многозначной с количеством значений равным знаменателю приведенной дробы; если иррациональное - то со счетным множеством значений.
Либо можно определить отдельно для натуральных, отрицательных и вида $\frac{1}{n}$ чисел и постулировать, что $x^{z_1+z_2}=x^{z_1}\cdot x^{z_2}$ и $x^{z_1\cdot z_2}=\left({x^{z_1}}\right)^{z_2}$

Andre

13.1.2008, 20:53

Это определение не допускает случая z = 0. И еще у нас проблемы с тем, что мы не различаем число e в какой-то степени и функцию экспоненты. В результате выражение
$e^\frac13 = \mathop{\mathrm{exp}} \left(\frac13\mathop{\mathrm{Ln}}e\right) = \mathop{\mathrm{exp}} \left(\frac13\right)\mathop{\mathrm{exp}}\left(i\frac{2\pi k}3\right) = \mathop{\mathrm{exp}}\left(\frac13\right)\left(\cos \frac{2\pi k}3 + i\cdot\sin \frac{2\pi k}3\right)$
мы записываем вот так:
$\underline{e^\frac13} = e^{\frac13\mathop{\mathrm{Ln}}e} = e^\frac13 e^{i\frac{2\pi k}3} = \underline{e^\frac13} \left(\cos \frac{2\pi k}3 + i\cdot\sin \frac{2\pi k}3\right),$
что выглядит несколько странно. Поэтому Валентина Викторовна говорила, что $e^z$ определяется через формулу Эйлера. Интересно, что по этому поводу думает лектор.

Борис

13.1.2008, 22:08

Я не очень понимаю, что ты написал. Мне кажется, ты ошибся: $\mathop{\mathrm{Ln}}e=1 + i\cdot2\pi k\ne i\frac{2\pi k}{3}$
Но по существу вопроса ты прав: та формула верна, если $z\ne e$ и $z\ne 0$ . Нужно ее дополнить:
$e^\alpha=e^{x+i\cdot y}=e^x\cdot (\cos y+ i\cdot \sin y)$
$0^0$ не определено
$0^{\alpha\ne 0}=0$

Andre

13.1.2008, 22:38

Там $\frac13\mathop{\mathrm{Ln}}e$ . И еще дилема с $0^0$ : бывает удобно, чтобы $0^0=1$ .

vassel

16.1.2008, 0:31

Народ, есть шпоры какие-нибудь по ТФКП или просто отсканенные или отфотканные ответы на вопросы к экзамену?

Andre

17.1.2008, 14:08

Определение производной обобщенной функции. По определению, $k$ -ая производная обобщенной функции $\hap f$ есть функционал $\widehat{D^k f}$ , действие которого на функцию $\varphi$ определяется так:
$\left(\widehat{D^k f}, \varphi\right) = (-1)^k \left(\hat f, D^k \varphi\right).$

Andre

17.1.2008, 15:08

Кстати, про обобщенные функции можно почитать, например, в Кудрявцеве, том 2 (см. здесь).

Andre

18.1.2008, 18:51

По просьбам трудящихся пишу решение задачи 5.1.1 темы II (на всякий случай проверяйте).

$\begin{array}{l}\mathop{\mathrm{div}}\left(r^5 (\vec a, \vec r) \vec r\right) = \left(\vec \nabla, r^5 (\vec a, \vec r) \vec r \right) = r^5 (\vec a, \vec r) \left(\vec \nabla, \vec r\right) + \left(\vec \nabla, \mathop{\{r^5 (\vec a, \vec r)\}}\limits^\downarrow \vec r\right) = \\ = 3 r^5 (\vec a, \vec r) + \left(\vec \nabla, \mathop{\{r^5\}}\limits^\downarrow (\vec a, \vec r) \vec r\right) + \left(\vec \nabla, r^5 \vec r \mathop{\{(\vec a, \vec r)\}}\limits^\downarrow\right) = \\ = 3 r^5 (\vec a, \vec r) + x (\vec a, \vec r) \cdot 5r^4 \frac{x}{r} + y (\vec a, \vec r) \cdot 5r^4 \frac{y}{r} + z (\vec a, \vec r) \cdot 5r^4 \frac{z}{r} + x r^5 a_1 + y r^5 a_2 + z r^5 a_3 = \\ = 3r^5 (\vec a, \vec r) + 5r^5 (\vec a, \vec r) + r^5 (\vec a, \vec r) = 9r^5 (\vec a, \vec r)\end{array}$

Стрелочка, стоящая над выражением в фигурных скобках означает, что на него действует оператор Гамильтона.

Борис, вы не знаете, как нормально поставить эту стрелочку? Я использовал следующую конструкцию:

Код

\mathop{x}\limits^\downarrow

Борис

19.1.2008, 17:56

Второе определение равномерной сходимости:
$f_n(x) \mbox{ сходится равномерно к } f(x) \mbox{ на } X \Leftrightarrow \sup_X |f_n(x)-f(x)| \rightarrow 0 \mbox{ при } n\rightarrow\infty$

К сожалению, Андрей, не знаю. Надо в книжке посмотреть.
Можно так обозначать $( \check{\vec a},\vec b )$ , только видно плохо

Код

(\check{\vec a},\vec b)

Andre

19.1.2008, 18:58

По просьбам трудящихся напишу схемы доказательства некоторых теорем.

Тема VII. 3.1. Теорема об аппроксимации непрерывной на сегменте функции непрерывной кусочно гладкой функцией. По лекциям В.Ф. Бутузова, это лемма ?1 в лекции от 08.11.2007.
Формулировка. Пусть функция $f (x)$ непрерывна на сегменте $[a, b]$ . Тогда $\forall \varepsilon>0$ существует непрерывная кусочно-гладкая функция $l (x)$ такая, что $\forall x \in [a, b] \quad |f(x) - l(x)| < \varepsilon$ и, кроме того, $l ( a ) = f (a), l ( b ) = f ( b )$ .
Схема доказательства.
По теореме Кантора $f (x)$ равномерно непрерывна на $[a, b]$ - запишем это "на языке $\varepsilon, \delta$ ".
Разобьем $[a, b]$ на частичные сегменты $[x_{i-1}, x_i]$ (n штук), длина каждого из которых меньше $\delta$ , указанного в предыдущем абзаце. Построим ломанную, проходящую через точки $\left(x_i, f(x_i)\right)$ ; она является графиком функции $l(x)$ .
Дальше выбираем произвольно $x \in [a, b]$ . Он попадет в какой-то частичный отрезок. Т.к. на этом отрезке $l(x)$ - прямая, то $|l(x_i) - l(x)| \le |l(x_i) - l(x_{i-1})|$ . Используя это и равномерную непрерывность $f(x)$ , расписываем $|f(x) - l(x)|$ и получаем, что она меньше заданного в первом абзаце $\varepsilon$ .
Теорема доказана.

Andre

19.1.2008, 19:45

Тема VII. 3.3. Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. По лекциям В.Ф. Бутузова, теорема ?1 в лекции от 08.11.2007.
Формулировка. Пусть функция $f(x)$ кусочно-гладкая на сегменте $[-\pi, \pi]$ . Тогда ее тригонометрический ряд Фурье
$\frac{a_0}2 + \sum_{k=1}^\infty \- a_k \cos kx + b_k \sin kx$
сходится в любой точке из сегмента $[-\pi, \pi]$ , и выполены равенства:
1. $S(x) = \frac{f(x+0) + f(x-0)}2 \quad \forall x \in (-\pi, \pi).$
2. $S(-\pi) = S (\pi) = \frac{f(\pi - 0) + f (-\pi+0)}2$ .

Доказательство слишком длинное, так что прикрепляю djvu-файл с фотографиями лекций: Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Andre

19.1.2008, 20:06

Тема VII. 3.5. Теорема о необходимом и достаточном условии замкнутости ортонормированной системы. По лекциям В.Ф. Бутузова, теорема ?3 в лекции от 09.11.2007.
Формулировка. Для замкнутости ортонормированной системы необходимо и достаточно, чтобы $\forall f \quad \sum_{k=1}^\infty \- f_k^2 = \|f\|^2,$ где $f_k = (f, \Psi_k)$ (равенство Парсеваля).
Схема доказательства.
1. Необходимость.
Запишем тождество Бесселя:
$\left\|\sum_{k=1}^n \- f_k\Psi_k - f\right\|^2 = \|f\|^2 - \sum_{k=1}^n\-f_k^2.$
Т.к. система $\{\Psi_n\}$ замкнута, то $\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N:$ левая часть тождества Бесселя меньше $\varepsilon$ при $n \ge N$ . Тогда и правая часть меньше $\varepsilon$ , что и доказывает утверждение теоремы.
2. Достаточность.
$\|f\|^2 - \sum_{k=1}^\infty\-f_k^2 = 0$
Тогда $\forall \varepsilon \; \exists n: \|f\|^2 - \sum_{k=1}^n \- f_k^2 < \varepsilon \Rightarrow \left\|\sum_{k=1}^n \- f_k\Psi_k - f\right\|^2 < \varepsilon,$ что и означает замкнутость системы $\{\Psi_n\}$ .

Stik

19.1.2008, 22:47

Так там равенство или неравенство Парсеваля?..

И еще - приведи пожалуйста пример обобщенной функции, носитель которой - вся числовая прямая?

Andre

20.1.2008, 14:32

2 Stik

Цитата(Stik @ 19.01.2008, 22:47)

Так там равенство или неравенство Парсеваля?..

Цитата(Andre @ 19.01.2008, 20:06)

$\|f\|^2 - \sum_{k=1}^\infty\-f_k^2 = 0$

Как видишь, равенство. Система-то замкнутая.

UPD. А! Исправил.

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.