Взаимно однозначное непрерывное отображение например, единичного отрезка и квадрата.
Многократно слышал, что такое есть, но как оно строится? Не могу даже представить.

2 dervish:
Это не однозначное отображение.

Представим числа как бесконечные дроби (десятичные или двоичные неважно)

из нечетных цифр - составляем x координату из четных цифр - y координату.

т.е. a=xyxyxyxyxyxyxy...= {xxxxx...,yyyyy...}

Данное отображение будет взаимнооднозначным между отрезком [0;1] и квадратом [0;1]x[0;1]

(не забываем, что 0,(9)=1)

Что вообще говоря вроде бы входит в рамки 1курса мат.анализа

Это отображение не является непрерывным.

А непрерывность в каком смысле Вас интересует?

Вот так:

А строгое рассмотрение (доказательство сущестования предела и его непрерывности) можно посмотреть тут: http://ium.mccme.ru/postscript/f04/e_geometry8.zip.

Упс, невнимательно прочитал)

2 Tigran K. Kalaidjian: ты крут)

2Теоретик
Непрерывность в смысле: бесконечно близкие точки отрезка отображаются в бесконечно близкие точки квадрата и наоборот. извиняюсь за художественно-литературный язык Это возможно?
2Tigran K. Kalaidjian
Красиво.
Но это, по-моему, только для рациональных чисел? Впрочем доказательство еще не читал.

Нет, не только. В том доказательстве, на которое я ссылку поставил, другая кривая построена, но смысл тот же. И для решения, которое привел Тигран, то же самое рассуждение работает.
Только по ссылке лежит не текст доказательства, а его, так сказать, ход. Если хочется большего, можно в Google набить "кривая Пеано".

я точно не помню, но кажется кривая Пиано вроде не взаимно-однозначно отображает

Да, это действительно так. Ну так я говорю только, что для примера Тиграна доказательство существования предела и сходимости к непрерывному отображению строится в общем так же, как для кривой Пеано -- а как именно это строится для нее, можно лмбо посмотреть по ссылке (если интересует общий ход рассуждения -- там он представлен в виде последовательности задач, решая которые ты как раз и строишь это доказательство), либо поискать где-нибудь полный текст.

По обновленным сведениям, такого отображения, какого требует автор темы, не существует.
И кривая Пеано, и та, которую привел Тигран -- все они не взаимно-однозначные.

Существует теорема -- так называемая "Теорема об инвариантности размерности", доказанная Брауэром. При всяком непрерывном отображении R^n в R^m при m не равном n обязательно найдутся точки с прообразом, состоящим из более, чем одной точки. Более того, минимальное возможное количество прообразов у таких точек неинъективности напрямую связано с размерностями отображаемых пространств (в смысле, существует k(n,m) такое, что не существует отображения, такого, что у любой точки меньше k прообразов, и оценка точная). Это более сильное утверждение -- не знаю, чье. Возможно, в оригинальном варианте, доказанном Брауэром, его не было.