Вот в последнее время думаю над таким вечным вопросом...

Математика - весьма обширная наука со множеством областей. И я никак не могу понять, насколько это множество областей находит приложение в физике. В физике, потому что, как мне кажется, именно там находит приложение абсолютное большинство математических областей.

Вот скажем, насколько приложима общая топология, p-адический анализ или абстрактная алгебра. Они, конечно, находят приложения, мой вопрос в том насколько. Конечно, тут не может быть количественной оценки, лишь качественная.

Я уже не говорю о теории чисел или о каких-то экзотических областях математики. Т.е. что я хочу сказать - я хочу сказать, что мне кажется, что в приложениях находит себя лишь относительно небольшая часть математики. Не берусь, разумеется, оценить эту часть, это очень сложно.

И вообще, мне иногда неясно, зачем нужно изучать доказательства тем, кто работает в области приложений. Особенно громоздкие и сложные доказательства. Ведь, то, что они улучшают понимание доказываемое теоремы или факта - во многом иллюзия. На мой взгляд, конечно.

Что Вы об этом думаете? И какие, по-вашему, математические идеи не находят приложений совсем или их мизерное число?

Тут еще спорный вопрос, а что считать физикой?
Суперструны, если считать их физикой, используют практически всю мощь математики.
P-адика, насколько мне известно, в матфизике используется в последнее время активно (но насколько целесообразны такие подходы я не берусь оценить). Ну а такие вещи, как вакуум с нетривиальной топологией, в теорфизику введены давно.

Согласен, вопрос, наверное в том, что считать физикой, да и реальностью вообще. А теорий интересных много можно наворотить. Вот по мнению С.П.Новикова (высказанному, кажется, в статье "Втора половина ХХ века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе"), все эти абстрактные и формальные теоретизирования с реальностью имеют мало общего.

И еще интересно вот что - в физике существует много интересных и сложных математических трактовок (которые еще не носят характер устоявшихся теорий), а вот за пределами физики как дела обстоят с этим?

На этот счет у меня такое мнение. Когда мы создаем математический формализм под физические задачи, мы обязаны какие-то базовые "физические" свойства системы переложить на язык абстракции, и эти свойства определяют самую базу выстраиваемой математической концепции, ее логику, аксиоматику, структуру наиболее простых объектов, в ней возникающих. Т.е. какие-то ограничения при таком подходе место имеют.
Если же мы выходим за пределы физики, то тут мы уже никоим образом не ограничены в свободе наших построений, ибо из таких объектов как множества, точки, числа и отображения с применением выбранной логики мы способны создавать более сложные построения любой степени извращенности.
Поэтому разговор о возможной сложности таких теорий просто лишен смысла.

Меня просто всегда удивляло то, что математика является каким-то самостоятельным организмом, который живет своей жизнью и совсем не зависит, вообще говоря, от приложений. Математика создает какие-то новые и новые ветви, исследует их и только затем (пока похоже не всегда при этом) некоторые другие науки находят как все это приложить. Порою весьма долго ищут и пытаются что-то придумать и вдруг узнают, что такой аппарат уже был предложен. Не всегда оно так, конечно, но бывает. Я нахожу это развитие не очень целенаправленным и весьма странным, но, в то же время, в математике есть, похоже, какие-то фундаментальные принципы в основах, которые, при определенной фантазии, позволяют ее "прикладывать" достаточно широким образом.

p.s. Под "за пределами физики" я подразумевал не совсем то, что вы подумали. Я имел в виду, в основном, технические вопросы, а также экономику и прочее. То, что любые конструкции допустимы - это, конечно, верно. Но ведь эти конструкции, также как и в физике (ну не так же, но примерно так же) должны удовлетворять реальному процессу или явлению. В то же время, матаппарат, который используется в этих задачах, по моим наблюдениям, весьма и весьма прост (по сравнению с физикой).

Т.е. я хочу поставить вопрос следующим образом - получается, что математика работает, по части приложимости, в основном на физику или я что-то упускаю?

А вот тут надо мехматян спрашивать, что ими движет, когда они развивают новый раздел абстрактной математики, не подгоняя его под задачи физики.
Все-таки, если выпускник физфака будет заниматься математикой, то он может достичь сколь угодно высокого уровня, но подход к постановке задач у него будет другой, чем у человека, который в себе изначально развивал математическое мышление без физического.

Абсолютно точно. Есть ведь ряд таких математиков, которые вышли из физиков. Они, как правило, двигают развитие в нужном для физики направлении.

(к первому посту)
p-адический анализ используется в практических расчетных задачах (био)химиии, насколько мне известно
части абстрактной алгебры - в теории поля (ну тут теоретики, так что на самом деле я не знаю, насколько это применимо к осязаемому на сегодняшний момент миру)
дзета-функция Римана (тч) - в счете петель для реально наблюдаемых процессов фэч (см. про современные генераторы событий)
всякая геометрия - это не только не наблюденные солитоны теории поля, но и наблюденные вихри Абрикосова в тт
и т.д.
теория струн, хотя она и обширна и сложна, пмм, имеет мало общего в этом смысле с физикой и Вашим вопросом - она не наблюдаема, но кроме нее есть реальные задачи, с проверяемыми ответами, в которых все это используется, надо только смотреть
и потом, как ни заумны бывают всякие теоремы, действительно сыгравшие ответы из математики обычно просто понять (а вот их доказательство может опираться на что-то очень злое ) к тому же, если внимательно посмотреть, появляется именно та математика, которая скоро пригодится физике - предпоследние 80 лет так и было (последние 20 сложно оценить, потому как время еще может не пришло); и это все не говоря уже о теории алгоритмов, которая тоже заумна, но которая в то же время дает совершенно реальные результаты в программировании (такой аналог (физики -> прикладные программисты) vs математики)

Скоро теория алгоритмов даст свои результаты и в биологии. Я вот шенноновскую энтропию к мышам прикрутил - для оценки поведения в нейробиологических тестах на пространственную память.

Вообще ощущение такое, будто математика опережает все остальное. Даже у меня (а мне диплом только забрать осталось) о многих областях нет ни малейшего представления - а в тех, что попадаются под руку иногда вылезает такое, что может вообще способно взорвать ту или иную вполне практическую область. Представления об атомах у большинства биологов не отличаются от тех, которые были у Демокрита, о математике мы знаем на уровне трехсолетней давности (с небольшими вылазками в статистику), про HEP даже не слышали... учите математику, люди!

Меня однозначно радует твое отношение к теоретикам

это не значит, что мне не нравится теория, просто, грубо говоря, есть красивые вещи, а есть полезные, и это не обязательно одно и то же

вот тут пару дней назад узнал, кстати, что однородные координаты (раздел математики: проективная геометрия, например) - один из основных инструментов при обработке графики

кстати, вопрос тем, кто занимается биологией:
теория узлов используется там?

Вообще, чем глубже я изучаю математику, тем мне все четче кажется, что нет математики, бесполезной для физики. Есть просто не понятая физиками.
Для первичного описания некой физической системой можно использовать математический формализм, являющийся в каком-то смысле выделенным, замкнутым разделом математики. И физики часто этим довольствуются.
Но далее, так как в математике нет четких непреодолимых границ между отдельными ее областями, этот выделенный раздел можно изучать, привлекая всю мощь абстрактных математических методов (любых! вопрос лишь в эффективности того или иного подхода). А потом интерпретировать чисто математические результаты, полученные при этом исследовании, в терминах физики.
Например, ряды теории возмущений в КТП, представляемые в виде суммы по диаграммам Фейнмана, можно рассматривать как комплексы графов, анализировать их методами гомологической топологии, делать выводы относительно всего комплекса в целом. И я не исключаю возможности, что на этом пути можно получить хорошие результаты в области развития непертурбативных методов (т.е. вывода соотношений, справедливых в любом порядке теории возмущений). Да и наверняка что-то уже сделано, просто я этим вопросом подробно еще не занимался.
А многие физики-теоретики, с которыми я общался, считают этот раздел математики "слишком абстрактным" ...

Ну есть в математике не очень нужные вещи... Но, в целом, математика, как правило развивается в русле развития прочей науки...

Например?

Да, С. П. Новиков - это известный памфлетописатель критического толка. Еще один такой памфлетописатель - это В. И. Арнольд. Уважаемый Петрович! Если Вы знаете где в сети можно почитать публицистические творения этих авторов, пожалуйста, сообщите ссылки. У меня есть два или три текста, но хочется иметь полный комплект.

Вот ссылки на тексты, котоые у меня есть:

http://aspirant.rggu.ru/article.html?id=50768
http://hbar.phys.msu.ru/gorm/fomenko/novikov1.htm
http://hbar.phys.msu.ru/gorm/fomenko/novikov2.htm

Изучая доказателства других теорем -- учимся доказывать собственные высказывания, и проверять их на истинность. Результат плохого изучения метода доказательств -- в "Проверке на прочность".

2 Wild Bill
вообще-то речь не о теорфизике была, а о физике

Я не думаю, что это достаточно обширный взгляд на математику. Я ведь когда стал вообще эти вопросы ставить - именно когда стал некоторым образом часто вращаться в обществе чистых математиков. Я бы даже сказал чистейших . Вот я и обратил внимание на то, что, извините, конечно, но это правда - плевать они хотели на физику и вообще на приложения, причем не то что с колокольни, а по-моему с пизанской башни. То есть о приложениях они говорили очень презрительно - в духе - ну вот там какой-то такой человек нашел какое-то там приложение этого - причем со снисходителной улыбкой на лице. Я тогда подумал - интересно, а что ими движет. Правда потом я понял, что это довольно сложный психологический эффект. Кстати, не думаю, что он сильно отличается от такового у физиков-теоретиков. Я имею в виду глубоких теоретиков. В общем, тут моя основная мысль такова - математики отнюдь не следуют за развитием физики. Давно уже не следуют. Они следуют за развитием математики как они ее понимают. Ведь математика - сама по себе- есть бездна. Она, видимо, бесконечна.


Ну это смелое утверждение. Я помню, как многие студенты-математики (правда прикладные) жаловались мне на то, что зря изучаются доказательства и прочее, потому что доказывать они совсем не учат. Доказывать можно научиться просто, если сесть и начать доказывать. И так много раз.