Всем привет. Возникла тут одна приблема с линейной алгеброй, очень надеюсь на помощь.

Для, начала такое задание: Две квадратичные формы заданы своими матрицами в некотором ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства. Привести их к калонинеческому виду одним линейным невырожденным преобразованием.
К сожалению, у меня не получись отобразить матрицу в местном латех-редакторе (на & ругался), так что придется записать матрицы по-простому. Матрица А выглядит так:

Матрица B вот так:

Составив из матрицы А квадратичную форму , методом Лагранжа привел ее к каконическому виду .
Записав это в матричном виде

я столкнулся с проблемой. Далее, вроде как, надо делать преобразование переменных, т.е. записывать из квадратичной формы, где преобразование переменных (коэффициентов перед ) вида . Отсюда, соответственно, и вопрос: что делать с этим минусом под корнем: взять по модулю, найти где-то раньше ошибку... В приложениях (первые две картинки) можно посмотреть рещение аналогичного номера из учебника, только там минусов не возникает...

И еще одно задание. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти координаты фокусов и уравнения директрис в исходной системе координат. . Записал матрицу формы и соответствующее характеристическое уравнение (на картинке ниже имеется в виду матрица 2х2, у диагональных элементов которой вычитается лямбда, а на другой диагонали стоят числа -12).

Приравняв определитель этой матрицы к нулю, получаю собственные значения -25 и -50. Проблема в том, что эти собственные значения, подставленные в матрицу характеристического полинома, после преобразования получившейся матрицы методом Гаусса, дают диагональные матрицы, все элементы которых линейно независимы. Т.е. система имеет в обоих случая тривиальные решения, собственных векторов нет и решать нечего (или я не правильно это понимаю?). Что делать? Решение похожей задачи из задачника также прикреплено внизу поста.

Угу... помощь квалифицированных специалистов просто необходима. У меня очень схожие проблемы и тоже ничего неясно. Я уж а ничего....
Короче, решите пожалуйста и вы получите ценный приз - нашу старосту! В качестве первого вклада в ваш собственный гарем!
Если она согласится...

Плохо учите линейную алгебру, ребята! Это вещь нужная, поверьте.

Две квадратичные формы можно одновременно привести к каноническому (диагональному) виду, только если по крайней мере одна из них знакоопределена, то есть все ее собственные значения одного знака. Вы не с той матрицы начали. Ваша вторая матрица положительно определена.

И я, старый конь, должен еще за вас собственные значения искать! Фотографию старосты выслать в личку

Спасибо! А по второму вопросу что можешь сказать?

Та-ак... Вы еще и скобки раскрывать не умеете. Характеристический многочлен имеет вид x*x-75*x+1250, корни +25 и +50. А на тех двух страничках, что вы выложили, все очень толково расписано.

Ох, не отвертеться вашей старосте!

Кроме верного замечания про положительную форму есть еще и такой нюанс... Я ведь предупреждал: НЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ пошаговый метод при приведении матриц двух форм к диагональному виду.

Здесь надлежит принять положительную форму за скалярное произведение и найти ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ базис, в котором матрица другой формы имеет диагональный вид. Поднимите семинары --- что я говорил про обобщенное характеристическое уравнение? Не забудьте также про тонкость, связанную с применением процесса Грама--Шмидта...

Вот и в первой контрольной полно "конкретного самотворчества"... Честное слово, скоро буду ставить 0 баллов за самопальные решения. Бадьин А. В.

Да, ребята... Попались вы.

Честное слово, скоро буду ставить 0 баллов за самопальные решения. Бадьин А. В.

А вот с этим, как преподаватель (другого ВУЗа), я бы категорически не согласился. Тем более, что решение не самопальное, а из книжки. Хотя, конечно, через обобщенную задачу на собственные значения быстрей и проще.

Похоже кто-то не ходит на семы, или пинает на них болт.
Свежий выводок раздолбаев подрастает =)

2 peregudov
пмм, первокурам надо понять в этом упражнении, из чего можно соорудить "нормальную" метрику - вот это реально надо (ну, по крайней мере мне пригодилось), и в этом смысл упражнения, а переставлять буковки как машина они должны были на первой сессии научиться. черт побери, как красиво - убить одну из матриц просто сменой обозначений! это, и "теорема об инерции" пожалуй больше всего запомнились из науки про скалярные произведения. а со студентами я бы поступил просто: есть правильный ответ? если нет - придет еще раз ; знаком с теорией? ну тут возможны варианты.

>А вот с этим, как преподаватель (другого ВУЗа), я бы категорически не согласился. Тем более, что решение не самопальное, а из книжки. Хотя, конечно, через обобщенную задачу на собственные значения быстрей и проще.

Может быть это offtop, но я все-таки отвечу. Как человеку, мне часто не хватает решимости поступить подобным образом. Как преподаватель, я твердо знаю --- только так и нужно поступать. Цель студента, пишущего контрольную, состоит не в том, чтобы решить конкретные задачи (они не имеют самостоятельной ценности), а в том, чтобы продемонстрировать, что он освоил стандартные методы (т. е. знает алгоритм и может его применить).

В данной ситуации за "правильным" решением стоит куча идей: "убиение" положительной формы путем принятия ее за скалярное произведение (об этом говорил stash), техническая (но все равно красивая) идея превращения обычной задачи на собственные значения для вспомогательного оператора в обобщенную задачу на собственные значения для формы путем опускания индекса, наконец, сама идея опускания индексов. Все это демонстрирует студент, решивший "правильно". А что демонстрирует студент, решивший "неправильно"? Что наш курс линейной алгебры очень прост и разумный человек всегда может "выкрутиться"?

Есть альтернативный подход --- давать сложные (точнее громоздкие) задачи, которые трудно решать "неправильно". Во-первых, это немилосердно. Во-вторых, у меня был случай, когда студент нашел обратную матрицу к матрице 5x5, вычисляя алгебраические дополнения (несмотря на то, что на семинарах такие задачи решались исключительно методом Гаусса). Ну вот что тут делать? Давать матрицы 100x100?

Андрей Бадьин

Ну вот что тут делать?

Думаю, похвалить студента за то, что он все-таки решил задачу, и рассказать ему другой способ (еще раз и еще раз и...). Тут целая огромная тема есть --- "Как учить и как учиться на физфаке", можно там пообсуждать тонкости преподавания, если очень хочется.

>Думаю, похвалить студента за то, что он все-таки решил задачу, и рассказать ему другой способ (еще раз и еще раз и...). Тут целая огромная тема есть --- "Как учить и как учиться на физфаке", можно там пообсуждать тонкости преподавания, если очень хочется.

Это был риторический вопрос :-). Хвалить --- вредно. Так студент никогда не поймет, что его цель освоить метод, а не решить задачу. Рассказать много раз --- только этим и занимаюсь (некоторые слушают). Тема действительно огромная... Да я не хотел начинать дискуссию... Может Алексей в субботу хорошую работу сдаст :-)...

peregoudov, Andrey Badin, спасибо Вроде разобрался во всем.


К сожалению нет И самое ужастное, я даже на всех семинарах и лекциях конспекты пишу.


...