У меня такой вопрос:
Могут ли две (невзаимодействующие) материальные точки, двигающиеся в ньютоновском поле тяготения по разным траекториям, два раза встретиться в одной точке пространства (каждый раз в новой точке, разумеется).

Можно придумать частные случаи, когда это происходит.
Например, если тела движутся по круговым орбитам на одной и той же высоте. Тогда встретившись один раз, ини пересекутся над противоположной точкой планеты.
Можно предложить эллиптические орбиты, симметричные друг другу относительно плоскости, содержащей прямую, проходящую через обе точки пересечения. Симметричное относительно этой же плоскости движение точек будет достаточным условием второй выстречи, если имела место парвая.
Можно движение по одной замкнутой траектории в противоположных направлениях засчитать как движение по одинаковым траекториям и повернуть эти траектории друг относительно друга вокруг оси, соединяющей точки встречи (развернуть как бабочку). Для этого точки встречи должны иметь постоянные положения на траектории, так оно и есть. Правда, надо удержать фокусы эллипса в одной точке (там будет центр планеты). Очевидно, что это не всегда возможно, я бы сказал более - мне не очевидно в данный момент, что это вообще возможно.

Я не придумал ни одного примера, когда бы траектории не совмещались бы (положения тел для каждого конкретного момента времени тоже - или можно совместить, или отстоят на половину периода).

Существуют какие-нибудь более общие случаи? А в однородном поле тяжести?

Полагаю, это возможно и в более общих случаях (точнее нужен расчет). А вот периодически такое может происходить, скорее всего, только в определенных симметричных случаях.

Мне нужно доказательство такой возможности,
а очевидные слычаи просто оказались "периодическими".

Погодите, а чем вам не нравится случай пересечения двух (разных) эллипсов, развернутых, как вы говорите, "как бабочка"? Или эллипса и окружности, ажно четыре точки? А гипербола, в двух точках пересекающая эллипс?

Рассмотрим две орбиты - эллипс с эксцентриситетом 0.9 или около того и круговую. Обращение в противоположные стороны в одной плоскости. Следовательно, две точки пересечения. Первая встреча будет в тот момент, когда Э-тело (на эллиптической орбите) удаляется от центра.

Если радиус круговой орбиты почти равен максимальному удалению для эллиптической, то Э-тело дойдет к второй точке пересечения раньше (оно проходит только маленький кусочек орбиты, а К-тело - почти полный период).

Если радиус круговой орбиты почти равен минимальному удалению для эллиптической, то К-тело дойдет к второй точке пересечения раньше (оно проходит только маленький кусочек орбиты, а Э-тело - почти полный период).

Следовательно, для некоторого промежуточного значения они прибудут одновременно.

Такое доказательство вас устроит?

Не устроит. Можно еще проще: два тела вращаются в противоположных направлениях по орбитам, отличающимся по высоте на 1 метр, - почти встречаются, хотя движутся по почти разным траекториям!
Теперь мне "очевидно", что это возможно только если поворот происходит вокруг большой оси (остальные прямые, проходящие через фокус, делят площадь эллипса не пополам, а согласно Кеплеру, время движения каждого из тел от одной точки пересечения к другой не будут равны, встреча во второй точке не состоится )
Тогда это включается в случай
Тогда надо выкинуть "половину периода" из утверждения



а) в случае движения в поле ньютона это не реализуется (т.е. только в двух точках). Время движения по эллипсу между этими точками будет меньше, чем по окружности, второй встречи не будет, опаздает тот, кто летит по окружности
б) тжсм, время по гиперболе будет меньше, чем по эллипсу (скорость больше, путь короче)

А вообще, я уже давно придумал: надо запустить тела на касающиеся (пересекающиеся) орбиты, периоды обращения по которым относятся как целые числа. Следующая встреча бедет наступать через n*T1=m*T2.