3. Динамика точечной частицы в пространстве Фока.
Для построения лагранжиана точечной частицы в пространстве Фока, мы будем использовать следующий инвариант:
![3.1. \Delta s^{2}_{F}=[c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta t)^{2}=inv 3.1. \Delta s^{2}_{F}=[c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta t)^{2}=inv](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=3.1. \Delta s^{2}_{F}=[c^{2} \Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta t)^{2}=inv)
Как обычно предполагаем, что движение точечной массивной частицы, описывается 4-вектором
где параметр
не обязательно интерпретируется как "время".
Инвариант
перепишем в следующем виде
![3.3. \Delta s^{2}_{F}(\tau)=[c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau)-\Delta x_{1}^{2}(\tau)-\Delta x_{2}^{2}(\tau)-\Delta x_{3}^{2}(\tau)^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau))^{2}=inv 3.3. \Delta s^{2}_{F}(\tau)=[c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau)-\Delta x_{1}^{2}(\tau)-\Delta x_{2}^{2}(\tau)-\Delta x_{3}^{2}(\tau)^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau))^{2}=inv](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=3.3. \Delta s^{2}_{F}(\tau)=[c^{2} \Delta x_{0} ^{2}(\tau)-\Delta x_{1}^{2}(\tau)-\Delta x_{2}^{2}(\tau)-\Delta x_{3}^{2}(\tau)^{2}]/(1-c R^{-1} \Delta x_{0}(\tau))^{2}=inv)
Пусть
некоторый достаточно малый временной масштаб, физический смысл которого, будет ясен из дальнейших построений.
Конечные разности в
вычислим на решетке с шагом ![\tau_{P}: \tau_{P}:](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math= \tau_{P}:)
![\Delta x_{\mu}(\tau) =x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau), \mu= 0,1,2,3 \Delta x_{\mu}(\tau) =x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau), \mu= 0,1,2,3](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\Delta x_{\mu}(\tau) =x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau), \mu= 0,1,2,3 )
Разлагая функцию
в ряд Тейлора, в малой окрестности точки
имеем:
![3.4.x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau) = \tau_{P} [ dx_{\mu} (\tau) /d\tau ] +O(\tau_{P}^{2}), \mu= 0,1,2,3 3.4.x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau) = \tau_{P} [ dx_{\mu} (\tau) /d\tau ] +O(\tau_{P}^{2}), \mu= 0,1,2,3](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=3.4.x_{\mu}(\tau+\tau_{P})- x_{\mu}(\tau) = \tau_{P} [ dx_{\mu} (\tau) /d\tau ] +O(\tau_{P}^{2}), \mu= 0,1,2,3 )
Подстановка равенств
в
дает:
где
![v_{\mu}(\tau)=dx_{\mu} (\tau)/d\tau, \mu= 0,1,2,3 v_{\mu}(\tau)=dx_{\mu} (\tau)/d\tau, \mu= 0,1,2,3](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=v_{\mu}(\tau)=dx_{\mu} (\tau)/d\tau, \mu= 0,1,2,3 )
В силу
для действия свободной частицы
мы имеем
![3.6.S \approx-mc\int ds_{F}(\tau) = \int \sqrt {[c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)]}d\tau /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau)) 3.6.S \approx-mc\int ds_{F}(\tau) = \int \sqrt {[c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)]}d\tau /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau))](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math= 3.6.S \approx-mc\int ds_{F}(\tau) = \int \sqrt {[c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)]}d\tau /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau)) )
Таким образом лагранжиан точечной частицы имеет следующий вид:
![3.7. \mathfrak{L} _{F} =-mc^{2}\sqrt{ c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)} /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau)) 3.7. \mathfrak{L} _{F} =-mc^{2}\sqrt{ c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)} /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau))](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=3.7. \mathfrak{L} _{F} =-mc^{2}\sqrt{ c^{2} v_{0} ^{2}(\tau)- v_{1}^{2}(\tau) -v_{2}^{2}(\tau)- v_{3}^{2}(\tau)} /(1-c R^{-1} \tau_{P} v_{0}(\tau)))
4-импульс частицы
определяется каноническим способом:
![3.8. p _{\mu}= \mathfrak{d} \mathfrak{L} _{F}/ \mathfrak{d}v_{\mu},\mu =0,1,2,3 3.8. p _{\mu}= \mathfrak{d} \mathfrak{L} _{F}/ \mathfrak{d}v_{\mu},\mu =0,1,2,3](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=3.8. p _{\mu}= \mathfrak{d} \mathfrak{L} _{F}/ \mathfrak{d}v_{\mu},\mu =0,1,2,3)
Для построения лагранжиана точечной частицы в пространстве Фока, мы будем использовать следующий инвариант:
Как обычно предполагаем, что движение точечной массивной частицы, описывается 4-вектором
Инвариант
Пусть
Конечные разности в
Разлагая функцию
Подстановка равенств
В силу
Таким образом лагранжиан точечной частицы имеет следующий вид:
4-импульс частицы
Для особо тупых типа дровосека и неуча перегудова, специально подчеркиваю, что пеобразования фока, применяются к отрезкам, а не к точкам, поскольку эти преобразования нелинейны
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=378612
! | Предупреждение: Личные выпады, балл штрафа. |