Студенческий форум Физфака МГУ

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: ДИФУР

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Autobus

25.12.2007, 0:18

Помогите, пожалуйста, решить дифур методом вариации:

y''-y'=e^(2x)*cos(e^x)

(е в степ. 2х на кос. е в степ. х)

peregoudov

25.12.2007, 1:26

Пользуйтесь ТеХовскими формулами
$y''-y'=e^{2x}\cos e^x$
(нажмите "добавить в ответ", "ответить", чтобы посмотреть, как я это набрал).

Помогу завтра (если еще будут силы).

peregoudov

25.12.2007, 18:46

Итак, сперва решаем однородное уравнение
$$y''-y'=0$$

Общее решение
$$y=c_1+c_2e^x$$

Теперь, считая постоянные "c" функциями "x", вычисляем производные
$$y'=(c'_1+c'_2e^x)+c_2e^x$$

Накладываем условие
$$c'_1+c'_2e^x=0$$

тогда

и дифференцируем еще раз
$$y''=c'_2e^x+c_2e^x$$

Подставляем производные в уравнение
$(c'_2e^x+c_2e^x)-c_2e^x=e^{2x}\cos e^x$
Получаем систему для определения коэффициентов "c"
$\begin{array}{l} c'_1+c'_2e^x=0,\\ c'_2e^x=e^{2x}\cos e^x \end{array}$
Решаем ее
$\begin{array}{l} c_2=\int e^x\cos e^x\,dx=\sin e^x+d_2,\\ c_1=-\int e^{2x}\cos e^x\,dx=-e^x\sin e^x-\cos e^x+d_1 \end{array}$
Итого
$\begin{array}{l} y=(-e^x\sin e^x-\cos e^x)+e^x\sin e^x+d_1+d_2e^x=\\ \qquad=-\cos e^x+d_1+d_2e^x \end{array}$

Autobus

25.12.2007, 22:13

Большое спасибо! А можно еще вопросик:

приближенно построить решения дифура с помощью изоклин

$y'=y/({x+y})$

Заранее благодарю!

peregoudov

25.12.2007, 23:13

Ага, ТеХом пользоваться научились!

Метод изоклин на примере конкретной задачи можно
посмотреть, например, здесь
http://www.reshebnik.ru/solutions/5/8/
(нашел по запросу "изоклины дифференциальные уравнения" в Гугле). Картинку сами нарисуете?

Вообще-то Ваше уравнение после замены $y(x)=xz(x)$

решается методом разделения переменных.

Autobus

26.12.2007, 7:31

Ага, научился) Просто в первый раз лень было разбираться ночью) Спасибо ещ раз!

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.