Студенческий форум Физфака МГУ > Уравнение Шредингера и релятивизм

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Уравнение Шредингера и релятивизм

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Интересные задачи и познавательные вопросы

Ruslan_Sharipov

21.12.2007, 12:00

Известно, что уравнение Шредингера не является релятивистски ковариантным уравнением. Но, тем не менее, при квантовании полей его настойчиво пишут, заменяя гамильтониан частиц полевым гамильтонианом. К чему такая настойчивость?

Сейчас популярны исследования (и спекуляции) по квантовым компьютерам, Q-битам, синхронизированным фотонам, телепортации и т. д. На каком варианте квантовой механики основаны эти спекуляции - на релятивистском или нерелятивистском?

В нерелятивистской квантовой механике есть несколько туманный вопрос, связанный с процессом измерения или взаимодействием квантовой системы с неквантовым измерительным прибором. В релятивистской квантовой механике этот вопрос как-то обходится молчанием. Что изменится в процессе измерения, если релятивистская квантовая система взаимодействует с релятивистским измерительным прибором?

Может ли быть измерительный прибор квантовым? Как изменятся при этом стандартные рассуждения (спекуляции) о процессе измерения?

morozov

21.12.2007, 17:52

Цитата(Ruslan_Sharipov @ 21.12.2007, 12:00)

Известно, что уравнение Шредингера не является релятивистски ковариантным уравнением.

это не беда. есть уравнение Дирака. И потом можно релятивистские вводить поправки к решениям уравнения Шредингера...

Цитата

Может ли быть измерительный прибор квантовым? Как изменятся при этом стандартные рассуждения (спекуляции) о процессе измерения?

Конечно может быть квантовым например атом - типичный измерительный прибор. можно плюнуть в глаза любому, кто скажет, что это не прибор или не квантовый прибор....
рассуждения. даже стандартные, всего лишь рассуждения они никогда не подменят теорию...

AlexDem

21.12.2007, 18:34

Цитата(morozov @ 21.12.2007, 17:52)

Так, мне сейчас вот профессионалы все быстро и доходчиво смогут разъяснить

. Станислав тут как-то В.А.Фока цитировал:

Цитата("Кравченко")

2. Цитата: от В.А. Фок.
Начала квантовой механики
Часть V
Теория Дирака
Стр. 311:
Формальной поверкой нового волнового уравнения могут служить уравнения движения. Припоминая формулу (22) 13 гл. III ч. I, для полной производной некоторого оператора L по времени
$\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial t} + \frac i \hbar (HL - LH)$ (9)
подставим в нее вместо L последовательно х, у, z, Рх, Ру, Pz и посмотрим, получатся ли у нас классические уравнения движения, подобно тому, как они получались из теории Шредингера. Полагая
L = x, у, z,
получаем
$\frac{dx}{dt} = c\alpha_1$ , $\frac{dy}{dt} = c\alpha_2$ , $\frac{dz}{dt} = c\alpha_3$ (10)
Таковы операторы для составляющих скорости электрона. Они не коммутируют между собой, и квадрат каждого из них равен $c^2$ , т. е. квадрату скорости света. Собственные значения каждого из них равны +с. Таким образом, выходит, что каждая из составляющих скорости электрона может, будучи измеренной, принимать только значения +с. Вопрос о том, имеет ли этот парадоксальный результат физический смысл, остается открытым. Автор склонен видеть в нем недочет теории Дирака.

На что я сделал вывод (вроде верный) в нерелятивистском случае:

Цитата("AlexDem")

Рассмотрим свободную частицу: $H = \frac{p^2}{2m}$ , подставим в уравнение (9) координату:

$\frac{dx}{dt} = \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{xH - Hx}{i \hbar}$ .

Первое слагаемое - нулевое т.к. оператор $x$ от времени не зависит, из второго получаем:

$\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{xp^2}{2m} - \frac{p^2x}{2m}}{i \hbar} = \frac{xp^2 - p^2x}{2mi\hbar}$ ,

применяя коммутационное соотношение $xp^n - p^nx = ni \hbar p^{n-1}$ , окончательно получаем:

$\frac{dx}{dt} = \frac{2i \hbar p}{2mi\hbar} = \frac p m$ .

А никакую не формулу (10).

При этом, насколько я понимаю, величина скорости частицы тут ни при чем - в результатах Фока она не фигурирует. Результаты вроде принципиально разные и не могут быть нивелировани поправками. Или могут?..

morozov

21.12.2007, 18:57

Цитата(AlexDem @ 21.12.2007, 18:34)

Результаты вроде принципиально разные и не могут быть нивелировани поправками.

естественно разные разные операторы - разные ответы....

Цитата

Вопрос о том, имеет ли этот парадоксальный результат физический смысл, остается открытым. Автор склонен видеть в нем недочет теории Дирака.

Можно считать. что электрон движется отлько со световой скорость но меняет направление (ссылку сейчас не найду, это не моя идея)
Возможно таким образом дыижется электрон в предствалении Фейнмана (см. его "Интегралы по траекториям..")

AlexDem

21.12.2007, 19:37

Цитата(morozov @ 21.12.2007, 18:57)

Можно считать. что электрон движется отлько со световой скорость но меняет направление (ссылку сейчас не найду, это не моя идея)

Но то, что операторы не коммутируют, ведь означает, что мы не можем измерить все составляющие скорости одновременно? Это довольно странно, поскольку вроде как считается, что импульс мы в состоянии померить точно (если координата не интересует). Хотя подумал - что-то я не смог сообразить схему, которая бы позволяла измерить все три составляющие импульса одновременно...

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.