Объясните, плиз, простыми словами. Как математики нематематику.
Что есть тензор? Что есть билинейная форма? И является ли матрица частным случаем тензора?

По-видимому, интересуют тензоры в линейном пространстве. Тогда несколько определений (простыми словами).
Опр. 1 Числовой набор (программист бы сказал массив) размерности N - функция, сопоставляющая N натуральным аргументам некоторое число. (Тут можно и построже сказать, но специально этого делать не буду)
Опр. 2 Геометрический объект в Линейном Пространстве L - функция, каждому базису в L сопоставляющая числовой набор.
Опр. 3 Тензор - геометрический объект, сопоставляющий каждому базису массив по тензорному закону (умел бы формулы набивать, написал бы; впрочем, это можно посмотреть здесь).

Соответственно, тензору можно сопоставить массив (а если он двумерный или одномерный - назовем его матрицей) в данном базисе.


Билинейная функция - это функция двух векторных аргументов, линейная по каждому агрументу (понятно, что это значит?). Используя столбцы координат, можно ввести матрицу билинейной формы (функции, это можно считать синонимами), которая зависит от базиса, причем по тензорному закону.

(добавлено)
Я кратенько объяснил, если что неясно - спрашивайте.

А посоветуйте, пожалуйста, что можно почитать по этой теме. Только максимально простого.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor (На русской написано мало и непонятно нематематику)

Короче, тензор - набор чисел, преобразующийся по определенному закону при замене системы координат. Закон этот написан в статье выше.
Этот набор записывается в виде буквы и индексов. Количество индексов - ранг, размерность - сколько чисел пробегает каждый из индексов. Матрица - набор чисел, который можно записать двумя индексами, вектор - одним, а скаляр(число) он и в африке скаляр и не нуждается в индексе.

Пример из жизни:
As a simple example, consider a ship in the water. We want to describe its response to an applied force. Force is a vector, and the ship will respond with an acceleration, which is also a vector. The relationship between force and acceleration is linear in classical mechanics( F=ma - прим ред). Such a relationship is described by a rank two tensor of type (1,1) (that is to say, here it transforms a plane vector into another such vector). The tensor can be represented as a matrix which when multiplied by a vector results in another vector. Just as the numbers which represent a vector will change if one changes the coordinate system, the numbers in the matrix that represents the tensor will also change when the coordinate system is changed. (из статьи)

чего такое тензор инерции для твердого тела? это просто такая штука, которая описывает распределение градиентов плотности в твердом теле. больше ничего так подробно не описывет...

Добавлю от себя. Тензор и матрица - разные понятия.
Их сходства
1. И тензор, и матрица - это набор чисел, занумерованых индексами
2. Тензор второго ранга может быть представлен в виде квадратной матрицы с размерами равными размерности пространства (чаще всего 3). Ранг тензора - это число индексов, которыми можно занумеровать числа.

Различия
1. Числа в тензоре могут быть занумерованы кучей индексов, в матрице - только двумя
2. Матрица не обязательно должна быть квадратной. Тензор второго ранга представляется в виде только квадратной матрицы.

Тензоры разных рангов можно представить в виде
0 ранга - скаляр
1 ранга - вектор-строка или вектор-столбец
2 ранга - квадратная матрица с размерами NxN, где N-размерность пространства
3 ранга - коробка кубической формы с числами, всего N в кубе чисел
4 ранга - четырехмерная коробка с числами
и так далее
представления 3 и 4 -нестрогие, это я так для себя представляю, чтоб проще

чаще всего 3

Гравитация отвернулась в уголок и заплакала...

Все же настаиваю на том, что тензор - это отображение. Матрица - это просто двумерный массив, о компонентах тензора в отрыве от базиса смысла говорить нет.


По-русски говоря, размер массива, выдываемого тензором.


Это не различия матрицы и тензора, более того, даже не различия матрицы и n-мерного массива. Числовой набор размерности 2 часто записывают в виде матрицы, вот и все.






Это да.



Громко, навзрыд ей вторил электромагнетизм...

Круглая матрица?

Видимо, я все-таки должен высказаться :-))). Рискуя до смерти надоесть присутствующим, вынужден коротко повторить основные определения. Заранее извиняюсь за изложение на физическом уровне строгости.

1. Числовой набор размерности это числовая функция от целочисленных аргументов, причем первый аргумент пробегает от 1 до , :, -й аргумент пробегает от 1 до . Обычно, эти аргументы записывают в виде индексов. Поэтому, обычно, элемент числового набора изображается как буква с индексами. Например, . Матрица, это числовой набор с двумя индексами, т. е. матрица это частный случай числового набора.

2. Теперь на сцене появляется линейное пространство размерности . Рассматриваем только числовые наборы, у которых . Геометрический объект размерности это отображение, которое каждому базису линейного пространства сопоставляет числовой набор размерности . Т. е. у нас есть черный ящик, мы этому ящику скармливаем базисы, а он выдает числовые наборы. Грубо говоря, геометрический объект это много числовых наборов, по одному на каждый базис. Так у нас появляется зависимость от базиса. Возникает вопрос. Могу ли я по числовому набору в базисе вычислить числовой набор в базисе . Оказывается, что, вообще говоря, не могу (если только искусственно не сужать понятие геометрического объекта). Однако, для некоторых геометрических объектов известны законы преобразования компонент при переходе от базиса к базису. Причем, для разных геометрических объектов эти законы различны.

3. Тензором называют геометрический объект с конкретным законом преобразования (довольно простым). Обычно у тензора часть индексов записывают внизу, а часть вверху. Верхние и нижние индексы преобразуются по-разному. Например: , , . Пусть тензор имеет нижних индексов и верхних индексов. В этом случае говорят, что у нас тензор порядка и ранга .

Теперь зафиксируем некоторый (любимый) базис . В этом базисе каждому тензору сопоставляется числовой набор . Нетрудно показать, что разным тензорам (одинакового порядка) сопоставляются разные числовые наборы. Также нетрудно показать, что для любого числового набора можно указать такой тензор , что . Иными словами, можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством числовых наборов размерности и множеством тензоров порядка . Поэтому, рассуждая очень грубо можно отождествить числовые наборы и тензоры. Соответственно, в рамках этого жаргона можно сказать, что матрица это частный случай тензора. Однако при использовании этого жаргона мы теряем самое главное в понятии тензора: тензор это числовой набор + зависимость от базиса + закон преобразования.

Насчет прямоугольных матриц и 'квадратных' тензоров. Тензор тоже можно сделать 'прямоугольным', достаточно потребовать, чтобы часть индексов жила в одном линейном пространстве, а часть в другом. Например, пусть --- линейный, всюду определенный оператор, действующий из линейного пространства , размерности в линейное пространство размерности . Каждому базису в пространстве и каждому базису в пространстве можно сопоставить прямоугольную матрицу оператора . Получившийся в результате геометрический объект будет тензором порядка в пространстве и тензором порядка в пространстве .

Гм... Это я с местным LaTeX'ом не разобрался, или формулы всегда так медленно возникают и так плохо получаются?

Формулы у Вас замечательные (глюки в формулах на форуме есть, но их нужно еще суметь словить ). Появляются они медленно в первый раз потому, что генерятся (а потом кэшируются, так что дальше уже проще). Под "плохо" Вы, наверное, имеете в виду не очень удачное выравнивание относительно остального текста? Тут трудно что-то сделать, поскольку у графических файлов нет "глубины", в отличие от ТеХовских боксов.

Черт, по теме-то написать забыл
Зря вы тут (особенно Andrey Badin) человека грузите. Ему надо попроще, на примерах. И хорошо бы, чтобы человек еще сам пояснил, для чего ему понадобились сии секретные сведения

>Тут трудно что-то сделать, поскольку у графических файлов нет "глубины", в отличие от ТеХовских боксов.

Ну Word свои OLE объекты все-таки покрасивше вставляет в текст... Впрочем, я не разбираюсь в программировании.


>Зря вы тут (особенно Andrey Badin) человека грузите. Ему надо попроще, на примерах. И хорошо бы, чтобы человек еще сам пояснил, для чего ему понадобились сии секретные сведения

Я так понял, он хочет разобраться :-)))... Впрочем, я отреагировал скорее на пост Relan'ы, чем на исходный вопрос. Думаю, если человеку нужно вычислить что-то конкретное, то, рано или поздно, он созреет до конкретного вопроса :-)))...

Так это ж Вам не Word, а HTML. Тут всего три способа выравнивания: top, bottom, center. Используется, очевидно, center. Можно до хрипоты спорить, что лучше: bottom или center --- и то и другое плохо. Но лучше, чем ничего.

Черт, опять забыл написать по делу...
Вот и я призываю подождать, пока созреет, а не писать длиннющие оды и поэмы о матрицах да тензорах в ответ на невнятный двухстрочный пост.

Да, я там накосячила в некоторых местах, спасибо что поправили. То что гравитация плакала - так оно и есть - многие ее не понимают. Просто к сожалению люди лучше всего воспринимают трехмерный мир, и понятнее объяснять именно на трехмерии. Поэтому у меня и стоит циферка 3.
Когда я готовилась к линалу на первом курсе, я для себя выделила такие отличия. На экзамене поставили пять (конечно, я не говорила экзаменатору про размерность три и коробки с числами ) Про прямоугольные тензоры теперь буду знать, спасибо!

>Вот и я призываю подождать, пока созреет, а не писать длиннющие оды и поэмы о матрицах да тензорах в ответ на невнятный двухстрочный пост.

1. У нас демократия. Хочешь, читай, не хочешь, не читай:

2. Человек задал достаточно конкретные вопросы: 'Что есть тензор? Что есть билинейная форма? И является ли матрица частным случаем тензора?'. Вопросы важные, о природе объекта, а не о том, как вычислить какую-то ерунду. Было дано несколько ответов. У меня возникла потребность уточнить некоторые моменты, связанные с этими ответами. Какие проблемы? Ничего лишнего я не сказал (кроме факультативного пассажа про прямоугольные матрицы).

3. Peregoudov, я Вас очень уважаю (честно, честно), но давайте Вы будете преподавать так, как Вы привыкли, а я буду преподавать так, как я привык :-))).

2 Andrey Badin
Да мне просто жалко Ваших усилий. Это ведь все впустую. Автор темы Ваш пост не прочтет и вообще здесь больше не появится. Прошу считать это диагнозом прогнозом.

Ешкин свет... Да не один же он здесь, автор темы...

У остальных мотивация еще ниже.

У меня есть книжка - Быстрое введение в тензорный анализ. Ее можно скачать с сайта http://www.freetextbooks.boom.ru. Если прочтете эту книжку - оставьте, пожадуйста, комментарий здесь.

есть число. Рисуем квадрат или прямоугольник, заполняенм числами = матрица ( она же тензор 2 порядка). Этот квадрат подняли с плоскости вверх, получили кубик. Все свободные места заполнили числами. = тензор 3 порядка, и так далее.
Извиняйте за примитив.
Момент инерции несимметричного тела разный для трех разных осей , описывается тензором, к примеру.

2 wina
давайте теперь куб в 4хмерное пространство вытягивать)) наглядность нам обеспечена)

а Андрей Валентинович как всегда интересно отжог)) спасибо)