Тут в процессе сдачи спецкурса столкнулся с непониманием мной основ квантов, по-видимому.
Итак, положим, нам задана система из трех частиц (A, B, C), проекция спина каждой из которых на любую ось может принимать только два значения, в т.н. состоянии GHZ- :
,
здесь соответствует положительной проекции спина i-й частицы на заданную ось z, - отрицательной (а вообще - СФ соответствующих матриц Паули).
Легко рассчитать вероятности того, какую комбинацию проекций спинов частиц на ось x мы получим, если их измерим:


Как мы видим, вероятности различных комбинаций не одинаковы, более того, какие-то комбинации таким измерением получить вообще нельзя. Это известный квантовый эффект (он же отвечает за нарушения неравенств Белла в двухчастичных ЭПР-состояниях - парадокс ЭПР в варианте Бома, GHZ я выбрал просто для наглядности).
Но теперь посчитаем вероятности подобных комбинаций для оси y. Получим, что вероятности всех комбинаций одинаковы .
Ну и нетрудно в принципе рассчитать вероятности таких комбинаций вдоль произвольной оси в плоскости xy. Результат будет плавно зависеть от угла между рассматриваемой осью и осью x (или y).

Суть моего вопроса: напоминаю, что в исходном состоянии заданы проеции на ось z. Где у нашей системы в таком случае ось x и где - ось y? Как нам проверить эти вероятности, вдоль какой именно оси в плоскости, перпендикулярной оси z, надо мерять проекции, чтобы получить распределение, характерное для оси x или оси y (или еще какой-нибудь)? Там же вроде все направления равноправны...

Знаний, чтобы ответить на этот вопрос, мне не хватает. Разумными мне видятся два варианта ответа:
1) При задании системы в состоянии с проекциями спина вдоль какой-либо оси обе другие оси должны быть определены.
2) Оси в плоскости xy не определены "в квантовом смысле" - при измерении мы случайным образом попадаем на какую-либо ось относительно x и y (редукция, после измерения оси определены).

Первый вариант мне не нравится, хотя конкретного способа задать систему в таком состоянии без конкретизации осей x и y я не придумал.
Если правилен второй вариант, то экспериментов по ЭПР-парадоксу в этой постановке вообще нельзя поставить. Потому что на самом деле в эксперименте у нас есть ансамбль таких трехчастичных систем, и если определение осей происходит в процессе измерения, то для каждой из систем ансамбля оси будут повернуты по-разному, и статистику набрать не получится.
Где истина? .(

а откуда известно, что это проекции именно на ось z?

По условию. Мне кажется странным, что для задания такого состояния надо точно определить и ось x, и ось y. хотя, потворюсь,
Если кто-нибудь обоснует неизбежность такой конкретизации, то это будет ответом на мой вопрос .(

Так оно приготовлено, это состояние, что проекции в нем именно на ось z, которая выбрана заранее. Это типа дано.
(это все равно как спросить, а почему в уравнении "a x + b = 0, где a!=0" а не равно нулю? )

тогда пусть будет дано, что проекции на ось х

Тогда будет уже не GHZ- состояние, надо полагать