Прочитала недавно популярную книжку Хокинга "Мир в ореховой скорлупке". Очень интересно, но кажется, что некоторые вещи изложены чересчур популярно (в ущерб строгости), поэтому и непонятно, насколько это имеет отношение к настоящей науке.
В частности, там было описание понятия спина частицы как характеристики его симметрии при вращении относительно своей оси. Например, если у частицы спин 1, то она переходит сама в себя при повороте на 360 градусов, если спин 2 - при повороте на 180 градусов. Таким образом получается, что минимальный угол поворота, при котором частица переходит сама в себя, равен <formula>\phi=\frac{360}{s}</formula>, где s - спин частицы в постоянных Планка. Хокинг в качестве иллюстрации приводил игральные карты.
Интересная штука получается для спина 1/2. Получается, что частица переходит сама в себя при двукратном повороте вокруг собственной оси. Представить себе такое реальное тело у меня не получилось. Тогда я взяла 2 листа комплексной плоскости и склеила из них двулистную риманову поверхность. Поводив по ней пальчиком и ручкой, я действительно поняла, что при двукратном обходе вокруг нуля точка возвращается сама в себя.
(Кому интересно, как я это сделала, могу выложить фотку)
Поэтому мне стало больше понятно, почему так сильно отличаются симметрийные свойства частиц с целым и полуцелым спином. Но может, я что-то не то делаю? Сама я не специалист по теор физике, поэтому не могу рассудить, что правильно, а что нет. К сожалению, читать реальные статьи в этой области не получается - не хватает знаний и времени разбираться.

Буду рада комментариям людей знающих.

Интересно посмотреть.

Хорошо. Вот произвела фотосессию в процессе изготовления Римановой поверхности для функции z квадрат. Прилагаю картинку с подробным руководством.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Аналогичным образом можно клеить римановы поверхности для других комплексных функций. Сложнее, когда разрезы более хитрые - например, от -1 до +1, или когда |z|=1. Там уже клей момент нужен.

Римановы поверхности я пока так и не освоил (вот бы кто разобъяснил), поэтому пользуюсь такой аналогией:
группы SU(2) (полуцелого спина) и SO(3) (вращений трехмерного пространства) соотносятся между собой как .
Геометрически это соотношение между сферической геометрией и геометрией Римана (не путать с римановой; геометрия Римана еще называется эллиптической) в размерности 3.

Трехмерную сферу не очень-то легко себе представить, зато легко себе представить двумерную сферу (обычная поверхность шарика в трехмерном пространстве). А геометрия Римана в размерности 2 получается из нее одним из двух эквивалентных способов: либо отождествлением вообще всех противоположных точек (тогда точке соответствует прямая, проходящая через центр шара), либо отрезанием одного полушария, и отождествлением противоположных точек на линии отреза.

Угловое расстояние на такой сфере Римана, иллюстрирующей SO(3), будет вдвое меньше, чем угол поворота в реальном пространстве. Таким образом, при повороте на 180њ мы оказываемся на экваторе, и получается целое множество таких возможных поворотов. В терминах реального пространства - поворотов на 180њ столько же, сколько возможных осей поворота. Дальше мы поворачиваемся на 181њ, и оказываемся с другой стороны полусферы, перескочивши по экватору в противоположную точку. И доводя поворот до 360њ, возвращаемся обратно в исходный пункт - в полюс.

А частица спина 1/2 путешествует по своей группе - по полной сфере; но в остальном точно так же. Когда происходит поворот на 180њ, она точно так же оказывается на экваторе. Но в следующее мгновение она не начинает возвращаться наверх, а переходит в другое полушарие. И когда в пространстве поворот доводится до 360њ, частица приходит точно в другой полюс. Чтобы вернуться обратно, ей нужно, чтобы пространство повернулось опять на 360њ - причем совершенно неважно, в какую сторону (неважно, по какому меридиану возвращаться).

Ух ты, как интересно! Оказывается, есть соотношение и между группами.
А можно ли упростить схему? - пусть частица со спином 1 путешествует по самой обыкновенной сфере (приложенный рисунок, 1), а частица со спином 1/2 - по такой хитрой сфере, где угловое расстояние вдвое меньше, чем угол в реальном пространстве (например, я могу себе представить такую сферу с 2 поверхностями, склеенную по экватору)
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Понятно - надо идти ботать теорию групп, а то все-таки не до конца понятны эти соотношения.

Мне встречалась у Фейнмана еще такая интерпретация. Ссылки у меня под рукой нет и рисовать мне не охота, попробую словами. Поставим на ладонь вытянутой вперед руки стакан. Попробуем крутить ладонь в горизонтальной плоскости против часовой стрелки. Провернуть на 360 градусов еще удастся, хотя рука сильно вывернется. Будем продолжать крутить ладонь со стаканом дальше. Для этого руку придется при кручении поднимать, так что большую часть второго оборота нужно сделать над головой. В конце ладонь со стаканом вернется в исходное положение, при этом полный угол поворота будет 720 градусов.

Тренироваться лучше без стакана.

P.S. Все это для правой руки. Левшам нужно левую руку крутить по часовой стрелке.

Не, нельзя. Дело в том, что группа пространственных вращений SO(3) - это не просто множество всех пространственных ориентаций. Если у нас есть какое-то направление в пространстве, то за счет пространственного вращения оно, во-первых, поворачивается в новую сторону (путешествует по двумерной сфере), а потом еще и поворачивается вокруг своей оси. Поэтому на самом деле трехмерными вращениями по сфере перемещается не точка, а репер (это базис с перенумерованными осями: "первая", "вторая" - то есть имеющий еще и направление и ориентацию). А если представлять себе это перемещениями точки, то приходится все-таки переходить к трехмерной полусфере. По ней частица спина 1 и бегает.


Тут все правильно. Именно эту хитрую сферу я в предыдущем сообщении и описывал.


Нет, это просто незачем. В реальном пространстве это неправильно (она должна быть склеена по всей самой себе, а не по экватору - вот это трудно представить, так что и не надо), а в пространстве, где угловые расстояния вдвое уменьшены - там вполне достаточно просто однослойной сферы. Если вы не поставили себе цель вообразить частицу со спином 1/4 :-) (такое тоже в принципе бывает, но сложнее, а не проще, чем 1/2).

P. S. Это называется не просто теория групп (в теории групп геометрических свойств групп не изучают), а теория групп Ли и их представлений. Группа Ли - это группа, которая одновременно является каким-то непрерывным и гладким пространством. И, собственно, из этой теории в физике используется буквально несколько элементарных фактов.

Немного помучался , потом прочитал:
"Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Ри́манова пове́рхность - традиционное в комплексном анализе название 1-мерного комплексного многообразия."

Если Вики не врет (не всегда же она врет), то немного успокоился.
Если Фейнман предлагал в качестве наглядной иллюстрации рассматривать карты, то можно и дальше пойти. Для демонстрации полуцелого спина необходимо изготовить карты с одинаковым изображением на обейх сторонах, скажем валет-валет. Тогда достаточно ввести правило: при вращении карты в собственной плоскости ее необходимо поворачивать вокруг "собственной оси". Причем один оборот в плоскости должен соответствовать одному обороту вокруг оси. Т.е. добавляется либо одно измерение, либо одна степень свободы. Собственно спин разве не является дополнительной степенью свободы?

У меня, наоборот, книга в очередной раз вызвала странные и необъяснимые ощущения "огромной пропасти" между искуственно строгими математическими нагромождениями теории и
интуитивно подразумевающейся простотой физических процессов.
Собственно, как и в 70-е годы во время незабываемых дискуссий на семинарах профессора Копцика "Симметрия в кристаллах и физических явлениях".

Спасибо за интересные идеи! Очень понравилась штука с рукой - попробовала покрутить.

О! Дошло. Попробовала крутить систему координат по сфере, теперь понятно почему так.

Кстати, похоже, есть аналогия между картами, предложенными Дилом, и руками, предложенными ion-ом. Если крутить руку вокруг своей оси, она не может при этом не повернуться в вертикальной плоскости.

По поводу римановых поверхностей. Не знаю насчет одномерного комплексного многообразия, лично я до таких высоких материй в процессе учебы не доходила. Нам объясняли римановы поверхности как поверхности, на которых комплексная функция является однозначной. (на обычной плоскости она может быть многозначной, правда, я давно забыла, как это все строго вводится, уж пять лет назад как все это проходили)

Кстати, есть еще одна тонкость, т.е. вопрос. Пусть специально для нас изготовят часы, в которых часовая стрелка делает половину оборота в сутки, а течение суток мы будем обеспечивать сами насильно вращая часы. Или просто возьмем матрешку, в которой внутренняя фигура вращается вполовину медленнее внешней. Тогда только два оборота внешней фигурки приведут полному обороту внутренней, а после одного оборота внутренняя фигурка будет висеть ногами вверх. Если, конечно, у матрешки есть ноги .

Относительно чего вращается спин? Может быть это "относительно чего" само вращается в обратную сторону?

Пропасть между простотой физических процессов и теоретическим анализом их действительно существует. Но ничего странного в этом нет. Понять на пальцах, как что происходит, в большей части науки довольно просто. Часто это понимание приходит из бытовых наблюдений за природой. Но часто понимание приходит уже после того, как кто-то нагромоздил сложных моделей, поигрался с ними, а потом уже до него дошло, что все на самом деле проще.
Кроме того, на пальцах все можно объяснить, и понять как все происходит. Но вот посчитать количественные характеристики процессов такое понимание никак не поможет.
Я, например, очень хорошо понимаю механизмы усиления различных эффектов в фотонных кристаллах. Это очень просто, понятно и ежу. Но если меня попросят сказать, какой надо изготовить фотонный кристалл (материалы, период решетки, симметрия), чтобы генерация второй гармоники для длины волны 1,5 мкм усилилась в 5,5 раз - я так с ходу не скажу. Хоть и понимаю, как это происходит. Для того, чтобы дать ответ на этот вопрос, мне придется громоздить гигансткие матрицы, заставлять компьютер их диагонализировать, решать численно связанные нелинейные системы уравнений. А физикам очень часто задают вопросы на количественные оценки, и более того, в любой статье такие оценки должны быть. Чтобы можно было провести эксперимент и проверить, а так ли это.


Кажется, относительно собственной оси. К тому же спин не вращается. Вращается частица. Более того, даже она не вращается. Она обладает некоторой симметрией (если ее кто-то захочет повращать, то она при вращении будет переходить сама в себя при определенном угле поворота, который определяется величиной спина). Такой вот изврат. Кажется, так.

Ну это Вы слегка погорячились, имхо. Относительноо себя двигаться очень сложно


Она просто делает вид, что вращается, т.е. проявляет некоторые признаки, которые свойственны вращающимся телам.


Под "вращением" спина я подразумеваю поворот "оси", т.е. вращение вектора. Непосредственно спин в эсперименте может принимать два значения, но мы заговорили о повороте вектора в пространстве. Отсюда мой вопрос и проистекает - относительно чего мы поворачиваем спин? И чем отличаются состояния одинаковых частиц, одна из которых нами повернута на 360 градусов.

Спешу сообщить, что недавно мне почти удалось договорится с почтенным Munin о том, что спин - это вращение вокруг вырожденной оси
многомерного пространства. Правда, сильно подозреваю, что почтенный Munin щас скажет, что я ниче в физике не понимаю.

Дискуссия была в http://dxdy.ru/topic9207-120.html

" Victor Orlov в сообщении #136897 писал(а):
Насчет спина - а нельзя ли обьяснить спин как вращение трехмерного обьекта вокруг многомерной оси?

Munin
Именно так его и описывают. Только с условием, которое жестко привязывает многомерную ось к обычной трехмерной. В результате
эта многомерность - ненастоящая, она делится на обычную трехмерность (3+1-мерность) и так называемые внутренние степени свободы.
По ним частица может поворачиваться, но не может смещаться. Это называется не многомерным пространством, а более сложным
математическим объектом - расслоением.


Victor Orlov
Надо полагать, что непонятным термином "расслоение" обозначают вырожденные измерения?

Довольно меткое определение получилось. Я за.


Относительно пространства, разумеется. В релятивистском случае - относительно пространства-времени.


Знаком волновой функции.

======================================

Цитата(Victor Orlov @ 11.08.2008, 22:43)

Спешу сообщить, что недавно мне почти удалось договорится с почтенным Munin о том, что спин - это вращение вокруг вырожденной оси многомерного пространства.

Ложь, разумеется. И приведенная цитата это опровергает.

Цитата(Victor Orlov @ 11.08.2008, 22:43)

Правда, сильно подозреваю, что почтенный Munin щас скажет, что я ниче в физике не понимаю.

А что, вы что-то успели начать понимать? Вы и в математике ничего не понимаете. Не вмешивайтесь в разговоры, в которых ничего ценного сказать не можете.

Разные знающие люди, спецы типа Фейнмана, придумывают разные аналогии для того разъяснить "на пальцах" сложные понятия, типа спина. Интересно, насколько рабочими являются такие "пальцевые аналогии"? Можно ли, например, на основе таких аналогий вывести принцип запрета Паули для частиц со спином 1/2 тоже на пальцах? Если для каждого из взаимосвязанных понятий тебуется изобретать свои не взаимосвязанные "пальцевые аналогии", то не приносят ли они больше вреда, чем пользы? Господа спецы! Может быть именно из-за ваших "пальцевых аналогий" и появляются многочисленные альтернативщики, которые строят свои теории на рассуждениях, очень похожих на эти ваши "пальцевые аналогии", придавая этим аналогиям больше значения, чем те того заслуживают?

Для Ruslan_Sharipov.

Если Вы про ту аналогию Фейнмана, что я указал, то, разумеется, не следует ее понимать буквально для выяснения свойств спина ½. И, конечно же, отсюда не получиться вывести принцип Паули (хотя бы потому, что для выяснения связи спина и статистики одних только трансформационных свойств волновой функции относительно вращений в 3-х мерном пространстве не достаточно, нужно еще привлечения, как минимум, релятивизма, ну и еще много разного).

Вообще-то эта аналогия вырвана из контекста и призвана продемонстрировать вот что. Довольно естественным является то, что твердое тело (пусть даже и вращающееся вокруг оси) при повороте на 360 градусов переходит в себя. При вращении частицы со спином ½ вокруг оси волновая функция этим свойством не обладает, а меняет знак. Наверное, это может кому-то показаться противоестественным. И Фейнман приводит пример, на основе обычных, не квантовых, объектов, когда имеется симметрия только при повороте на 720 градусов. Для этого нужно к твердому телу приделать хитрую 'ручку'. То есть частица со спином ½ является довольно хитрым объектом. Аналогия нужна, чтобы показать, что такая хитрость характерна не только для квантовых частиц, а часто встречается в повседневности. Проблема, по-видимому, в том, что человеку трудно в голове представить 3-х мерные вращения (например, их не коммутативность и пр.). Т.е. аналогия эта нужна не для изучения спина, а для объяснения некоторых свойств вращения. Ну, конечно же, Фейнман не ограничился этим примером, а очень подробно все изложил про спин в своих лекциях, на уровне доступном даже старшекласснику.

Вопрос был в том, можно ли это "много разного" покрыть серией взаимосвязанных "пальцевых аналогий", чтобы получился вывод связи спина и статистики. Если нет, то следует признать, что "пальцевые аналогии" подобны восковым муляжам овощей и фруктов - смотреть можно, а есть нельзя.

У Вас есть ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ возражения против вращения вокруг вырожденной оси многомерного пространства?

У меня есть принципиальные возражения против самой этой формулировки: ни в физике, ни в математике никаких "вырожденных осей" и тем более вращения вокруг них нет.

А еще у меня есть принципиальные возражения против того, чтобы вы разводили офтопик.

А, так Вы просто мало знаете про многомерные пространства! Тады усе с Вами ясно...

"А еще у меня есть принципиальные возражения против того, чтобы вы разводили офтопик. " - прикрывать свои ограниченные знания
ссылками на офтопик.... Жалкое зрелище.... Исче щас модератор прибежит Вас защищать... Тока сесть и плакать...

Если же кто немного любит думать головой, пусть срочно подумает насчет вырожденных осей. Интересная тема.

Для того чтобы получше понять что такое спин можно попробовать почитать какую-нибудь книжку вроде книжки Любарского "Теория групп и ее применение в физике". Там достаточно подробно строятся представления группы вращений. Оказывается, что кроме векторов, преобразующихся по и тензоров, преобразующихся по , естественным образом возникают представления . В общем, спин -- это как раз то, что преобразуется по .
То есть, при вращениях он ведет себя забавным образом.

Для Ruslan_Sharipov.

Попытаюсь ответить на ряд Ваших вопросов из Вашего сообщения #16.

1. Связь спина и статистики (принцип Паули).

Я поторопился написать, что пальцевые соображения здесь не помогут. Я немного подумал, почитал, и сейчас думаю, что не так все безнадежно. Попытаюсь изложить некоторые эвристические соображения (это не строгое доказательство).

Для удобства напомню суть проблемы (хотя, вроде бы, Victor Orlov и получил 'от ворот поворот', но на всякий случай).

Теорема о связи спина и статистики формулируется примерно так. Все частицы бывают только 2-х сортов. Для одних волновая функция не меняется при повороте частицы на 360њ (это свойство спина) и тогда многочастичная волновая функция при перестановке любых 2-х таких частиц тоже не меняется (свойство менять или не менять знак при перестановке называют статистикой). Такие частицы называют бозонами. Для других - волновая функция меняет знак при повороте частицы на 360њ и тогда многочастичная волновая функция при перестановке любых 2-х таких частиц тоже меняет знак. Такие частицы называют фермионами. Не может быть такого, что при повороте знак изменился, а при перестановке - не изменился (и наоборот).

Для простоты буду рассматривать только частицу со спином ½. При повороте частицы на 360њ волновая функция меняет знак. Это свойство связано с тем замечательным свойством 3-х мерного пространства, что хотя при повороте на 360њ твердое тело геометрически переходит в себя, но топологически по отношению к окружению происходит кручение. И только при повороте на 720њ тело полностью возвращается в исходное состояние. Почему это так - можно посмотреть мое сообщение #6 или пример Хокинга из начального сообщения Relana. Для любителей строгости можно полистать теорию групп, на которую ссылаются Munin и nestoklon, но на самом деле все это одно и тоже. Для частицы со спином ½ таким 'скрученным' окружением является ее момент (спин). Его можно рассмативать в качестве 'ручки', о которой я упомянул в своем посте #17.

Теперь рассмотрим две такие частицы со спином ½ и будем их переставлять. Основным в рассуждении будет утверждение, что перестановка частиц в 3-х мерном пространстве топологически эквивалентна вращению одной из них относительно другой на 360њ. Чтобы это увидеть, нужно взять ремень (или ленту), один его конец зажать в кулаке левой руки, другой - правой. А теперь переставим кулаки местами. И тут мы увидим, что ремень перекрутился на 360њ! Это и означает топологическую эквивалентность вращения на 360њ и перестановки двух частиц. Поэтому волновая функция 2-х частиц со спином ½ меняет знак при их перестановке.

У меня есть в загашнике еще несколько дополнительных аргументов. Напишу, если возникнет интерес.

2. О пользе 'пальцевых' рассуждений.

В чем польза вышеприведенных 'пальцевых' соображений. Отсюда, в частности, следует, что в 2-х мерном пространстве теорема о связи спина и статистики не выполняется. В самом деле, в 2-х мерном пространстве перестановка 2-х частиц ничего не перекручивает (для этого нужно 3-е измерение).

Более того у меня есть ощущение, что все рассуждения в современной физики в какой-то мере являются 'пальцевыми', поскольку по современным математическим меркам не строги. Ведь современная физика не аксиоматизированная наука.

3. Об 'альтернативщиках'.

Думаю, что такие люди появляются из-за склада характера в любой человеческой деятельности. Не вижу вообще здесь проблемы, просто игнорирую.

А по моим сведениям выполняется. В этом и недостаток (а не достоинство) "пальцевых" соображений. Группа спина 1/2 при любой размерности, и при 2 тоже, больше группы вращений, хотя перекручиванием это себе представить уже не получается.


И сами физические теории в больших объемах получается аксиоматизировать, и уж такой-то простой вопрос, как спин и пространство, давным-давно рассмотрен строго.

Если под сведениями Вы понимете то, что и все - тогда ссылку на такие сведения.

В любом случае эти сведения не верные. И проблема здесь не в спине (хотя спин в 2D пространстве - это воообще-то нечто), а в перестановке частиц. Из-за отсутсвия 'перекручиваемости' в 2-х мерном случае волновая функция при перестановке 2-х частиц вообще может приобрести любой фазовый множитель. Соответствующие частица называют 'энионы' (иногда 'анионы', вообщем, anyons, от any - любой).

А можно поподробнее про группу спина "при любой размерности"?
Да, можно конечно например в двумерии рассматривать представления группы вращений типа , вот только "физического" смысла в этом немного. Почему тогда не или не ? А что, спин одна четвертая. Почему нет?..

А можно литературу о таких частицах? Это реально? Или математический кунстштюк?

Извините, но не всегда в курсе последних работ.

Таких бы обсуждений, да побольше!

Приношу всем извинения, про размерность 2 я сказал глупость.

2 Moving Observer
Частицы со спином 1/4, возможно, тоже результат моей плохой памяти и моего плохого понимания связи спина со статистикой. Речь там шла о "недотождественных частицах", когда волновая функция переходит сама в себя при перестановке не двух частиц, а нескольких. Надо бы спросить ion и nestoklon, а не меня.

Меня интересуют проблемы спина в связи с псевдоклассической механикой... Ну, это когда пытаются ввести некое подобие суперсимметрии на классическом уровне. Там спин можно приписать этакой псевдоклассической частице и даже получить подобие статистики (запрет Паули).

(обновление)

2 Munin

Извините, но у меня тоже с памятью не все в порядке Это как-то связано с парастатистикой?

Про такое ничего не слышал. Пытаюсь понять, как на классическом уровне выглядит аналог обычных фермионных степеней свободы (механика в грассмановых переменных), но из источников у меня только Прохоров-Шабанов, а он слишком крут и конспективен. Как я понимаю, суперсимметрия появляется уже позже.


Во, точно, было такое слово!

Там рассматривается классическая частица в пространстве с d-пространственными измерениями и одним временным измерением как d "скалярных полей", зависящих от одномерного времени t. Потом эта структура суперсимметризуется, для чего вводится (1,1)-суперпространство с координатами , где , и (B - четная и нечетная части грассмановой алгебры). Нерелятивистская суперчастица описывается с помощью d скалярных суперполей , которые, в силу грассмановсти можно разложить по нечетному аргументу в конечный ряд
, где
, и .
Потом можно построить генераторы суперсимметрии


и супералгебру

Это будет алгебра левых супертрансляций и временных сдвигов. Соответствующие правые супертрансляции генерируются с помощью
, где

В соответствии с последним свойством, генератор правых супертрансляциый D может быть использован в построении суперсимметричного действия



Это кратко. Книги для первоначального чтения: Математика - Ф.А. Березин. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. МГУ 1983. Физика - P.G.O. Freund. Introduction to Supersymmetry. CUP, у меня ксерокс, но года чуть позже Березина. К этой же теме можно отнести и книгу Березина Метод Вторичного Квантования 1965. Были еще статьи Маринов-Березин в начале 70-х. Конечно, через работы Березина пробиваться - удовольствие еще то...

Конечно, теория развивалась: на релятивистские частицы, на частицы в электромагнитном поле, в гравитационном поле. Не столбовое направление, но пишут люди...

Приведенные выше рассуждения основаны на моем рабочем конспекте Freund'а.

(добавил)
Скобочки здесь такие, что для нечетных переменных они антикоммутируют, для четных и четно-нечетных - антикоммутируют, а индексы - и + пряпо указывают на способ (анти)-коммутации. Извините, но иногда привыкаешь и не задумываешься...

Далее там получаются свободные чатицы со спином, частицы со спином в электромагнитном поле, частицы со спином в гравитационном поле (уравнения типа Папапетру). В общем, своя область в теор физике...

Я вот как-то уже не понимаю, зачем частицу - кучей полей? Привычней наоборот, одно поле - кучей частиц, скажем, осцилляторов. Если настолько подход меняется, можно его на каком-нибудь простеньком бозонном случае показать?

Кстати, может, это уже отдельная тема, по сравнению с тем, с чего началось?

Термины вроде скалярное поле "спускаются" сюда из полевых теорий, просто как некая аналогия. На самом деле все ограничивается d=3, то есть обычным пространством для нерелятивиствких частиц. - просто суперсимметричное расширение обычных координат . Но есть отличие от полевых (неквантованных) теорий, там поле зависит от 4-координаты, все компоненты которой симметризируются, а здесь 3-координата зависит от времени (обычная механика), а это самое время симметризуется.

Из того самого лагранжиана вытекают уравнения для свободной псевдоклассической частицы


Поэтому "бозонный" случай сводится к обычной механике.

Насчет новой темы... Если это интересно, то можно выделить, не подскажите, как это сделать?

Обращением к модератору :-)

Так, давайте еще помедленнее. Насчет расширения обычных координат. В обычной механике координаты - это функция времени, то есть . В этом смысле я понимаю, что такое движение точки, уравнение движения, начальные условия, действие и его экстремум. А в расширенных координатах как это выглядит? Что такое , что такое , что такое индекс a?

Munin, это я так понимаю в обозначениях по Рубакову все проделывается...

Опять же не знаком. :-( Как называется?

Цитата(Munin @ 27.08.2008, 15:17)

Опять же не знаком. :-( Как называется?

Рубаков. Классические калибровочные поля.

И где там суперсимметрия, или хотя бы механика в грассмановых переменных?

Читаю Шиффмана "Суперсимметрия для начинающих", голова кругом: зачем вместо времени делать время и еще две координаты? В принципе, теперь понятно, как выглядит движение: как функция от t, , - но зачем? И как теперь в этой обстановке понимать действие? И по вашим, Moving Observer, обозначениям: что такое , что такое ?

Сейчас не могу вспомнить обозначения Шиффмана (я в отпуске, а вся литература на работе), но у него вроде классическое время расширяется следующим образом . В моих обозначениях этому соотвествует . Отличие состоит в том, что у меня был случай N=1 (по аналогии с обычной полевой суперсимметрией), в котором можно ввести только свободные частицы. А у Шиффмана случай N=2, в котором уже можно построить взамиодействие, поэтому у него два "нечетных времени".

Мои соотверствуют нечетным степеням свободы псевдочастицы, у Шиффмана эти степени свободы должны выражаться функциями в разложении суперкоординаты, стоящими при и .

Немного запутано, но, мой соответствует его , а мой соответствует некоторым его функциям.

Зачем это нужно? На этих моделях легко отработать навыки вычислений с иснользованием четных и переменных. Потом такие модели интересны тем, что уже на классическом уровне можно ввести внутренниые степени свободы частиц, в основном упор делался на спин. Это можно сделать на уровне лагранжиана или действия, которое в моем случае будет выглядеть как

а у Шиффмана - как

конечно, оно сохраняется при преобразования суперсимметрии.

Так, начинает доходить. То есть одна степень свободы оказывается несколькими степенями свободы: "четными" и "нечетными" (у Шиффмана "переменные бозонного и фермионного типа"). Я правильно улавливаю терминологию?

Насчет действия: интеграл-то понятен, но вот что соответствует таким привычным и любимым пределам интегрирования? И что такое вариация, как вообще тут варьировать? Или с действием обходятся как-то радикально иначе (уже не удивлюсь)? Аналоги классических уравнений Лагранжа и Гамильтона-то есть? О, да, Гамильтон, а что там с импульсами?

Немного не так... На навешен пространственный индекс , это функция бозонного типа со значениями в обычном пространстве. Проще, 3-координата, зависящая от времени. Функциями фермионного типа являются (это не аналог Шиффмановских тет). Эти функции, описывают некие внутренние степени свобо частицы.

Чтобы получить эти функции, то следует взять некоторую суперкоординату ("суперполе") (это у меня для N=1) или (это у Шиффмана для N=2, только у него вместо может быть другое обозначение).

Потом эту суперкоординату следует разложить в ряд по нечетным переменным (у меня) или (у Шиффмана). Ряды всегда будут конечными в силу нечетности переменных разложения. В моем случае получается

у Шиффмана должно вроде бы четыре члена: два четных и два нечетных.

В действии

пределы интегрирования для четного t (времени) устанавливаются обычным способом от t1 до t2, моменты времени, между которыми варьруется действие (просто по классичекой механике), а для интегрирования по нечетным переменным действуют следующие правила

Если таких переменных несколько, то

то есть интегрирование аналогично дифференцированию.

При преобразовании суперсимметрии

получается вариация суперкоординты

где Q есть генераторы суперсимметрии


Конечно, можно ввести и импульс

и аналоги ф-ции Гамильтона, уравнений Лагранжа и Якоби есть.

Уже не понял. Сначала я вообще не хотел привязывать все это как-то к обычному пространству. В конце концов, этим можно и потом заняться. Потом я вспомнил, что в обычных фермионных полях, типа поля Дирака, спиновая степень свободы все равно привязана к пространству - как раз с этого данная тема начиналась, кстати :-) Поэтому внутренней степенью свободы ее называть нельзя, разве что в одномерной нерелятивистской квантовой механике. А термин "внутренние степени свободы" в строгом понимании остается связанным с каким-нибудь изоспином.


Да, все так. Шифман с. 7 (198):



А пределы? Или вообще хоть какой-нибудь смысл кроме этих правил там у этого интегрирования есть? Или это чисто символическая операция, как в абстрактной алгебре? Если последнее, то очень это мне не нравится.


А как это соотносится с обычным понятием вариации функции? Вот это место поподробней, если можно. Опять же, про ковариантную производную D назревал вопрос...


Смешно получается: то есть для фермионных составляющих фазовое пространство равно конфигурационному?

В псевдоклассической механике как раз все и строится на предположении, что нулевой член в разложении суперкоординаты отождествляется с обычным пространством. В моем, точнее Фройнда, случае это 3-мерное евклидово пр-во. В случае Шифмана (это книга Михаила Шифмана?) это действительно какие-то переменные: - вроде бы можно представить как некий аналог скалярного поля, и сопряженный - как аналог спинорных полей. Функция в таких теориях обычно имеет тривиальное "уравнение движения" вроде . Наверное, он сразу готовит почву для перехода к суперсимметричным квантовым теориям поля?

Да, здесь можно получить вектор спина, который принимает значения в обычном пр-ве

и образует алгебру


поэтому я и назвал некими "внутренними" степенями свободы, так как они только участвуют в образовании спина!


Интеграл по нечетным переменным здесь строится по формальному принципу, это действительно операция в некоторой алгебре. Такой интеграл введен Березиным в его книге Метод Вторичного Квантования. Вообще, на моей памяти математическая сторона этих теорий несколько раз уточнялась и перекраивалась. Даже есть новый раздел - суперматематика (по аналогии со суперсимметрией).


Это простейшая модель... если ее расширить... У Шифмана, как мне кажется, должно быть что-то вроде

это свидетельствует о наличии нечетных первичных связей, которые надо попытаться устранить.

А про вариацию - завтра, уже пора отдыхать!

Вариация суперкоординаты дается формальным выражением

где - генератор суперсимметричных пребразований

далее

Отсюдя


Теперь вспоминаем, что принадлежат четной части алгебры Грассмана, а принадлежат нечетной части алгебры Грассмана. То есть это некие формальные операции над алгеброй.

В псевдоклассических теориях принято четные элемементы считать обычными функциями с всеми их свойствами, а нечетные переменные входят в окончательные выражения только в четных комбинациях вроде вектора спина в предыдущем посте. Модель, которую я излагаю, описывает свободную точечную частицу, ,
значит спин свободной частицы сохраняется.

Строгое математическое обоснование законности таких операций есть, но оно очень громоздское в своих начальных построениях и весьма формально.

А что с ковариантной производной ?

Речь о брошюре Шифман М.А. Суперсимметрия для начинающих - Препринт ЛИЯФ, 1986 - 38 с., которую я взял здесь: http://lib.homelinux.org/_djvu/_catalog/index_170.html


Ну, значит, меня смутило такое употребление слова "внутренние". Что-то мне кажется, что в механике и в теории поля здесь немного разная терминология.


Ну, тогда понятно. Саму-то операцию я понимаю, поиграл немного с алгеброй Грассмана, просто как-то обидно терять яркий и наглядный "геометрический" смысл интегрирования, сильно помогавший в принципе наименьшего действия и в фейнмановском интеграле по траекториям.


Значит, эти связи еще и устранить можно... Не, у меня уже здесь заканчивается понимание, я механику со связями очень плохо знаю. Где бы ее почитать, так, чтобы после этого приступить к Прохорову, Шабанову?

А при этом обычная вариация какой-нибудь части этого выражения соответствует?

Да, терминология немного различается... наверное, из-за того, что для классической механики это немного новый взгляд, в КТП к понятию суперсимметрия подходили еще с серены 50-х...

Я такие системы изучал по учебнику Термеха
Айзерман М.А. Классическая механика, Наука, 1980
http://lib.homelinux.org/_djvu/_catalog/index_133.html
уже потом читал
Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. Наука, 1986
http://lib.homelinux.org/_djvu/_catalog/index_163.html

Проглядел работу Шифмана, она очень конспективна... Вот есть более новая книга, к сожалению, не на русском
http://gigapedia.org/v5/item:view_description?id=43856

Ну, все-таки старт дает. За Гитмана, Тютина спасибо, буду читать. Багчи скачал с http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?...i&network=1 ( http://lib.homelinux.org/_djvu/_catalog/index_101.html ), но пока не открывал. Рекомендуете?

Это одна из немногих (доступных в сети) книг, которая содержит что-то о суперсимметрии в классической механике, но не много, там больше о квантовой механике. И немного подробнее статьи Шифмана...