Студенческий форум Физфака МГУ > Вопрос по электродинамике Савельева

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Вопрос по электродинамике Савельева

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

AndrV

29.4.2009, 21:21

И.В. Савельев "Основы теоретической физики" т1 1975г параграф 40 стр 149

Тензор энергии-импульса $\tilde {T_\mu}^\nu={\sum_{a}{}}\dot q_a_\mu\frac{\partial L}{\partial \dot q_a_\nu}-{\delta_\mu^\nu}L$ (40.16)
Для симметризации тензора энергии-импульса делается следующее.

${T_\mu}^\nu=\tilde {T_\mu}^\nu+\sum_{\rho}{}\frac{\partial Q_\mu^\nu^\rho}{\partial x^\rho}$ (40.18)
здесь $Q_\mu^\nu^\rho$ - тензор антисимметричный по индексам $\nu$ и $\rho$
Утверждается, что диагональные элементы первоначального и конечного тензоров равны: $\tilde {T_\mu}^\mu={T_\mu}^\mu$ (40.21) (Суммирования по повторяющимся индексам здесь нет.) И это непонятно. Это было бы так если бы в (40.18) прибавлялся антисимметричный тензор (т.к. его диагональные элементы равны нулю), но прибывляется тензор у которого я не вижу, чтобы диагональные были равны нулю (несмотря на антисимметричность тензора, от которого берется сумма производных). Можно только доказать, что шпур прибавляемого тензора равен нулю и потому равны шпуры начального и конечного тензоров.
Где моя ошибка (помогите доказать утвердление учебника)?

tkm

30.4.2009, 7:47

Цитата(AndrV @ 29.04.2009, 22:21)

Утверждается, что диагональные элементы первоначального и конечного тензоров равны: $\tilde {T_\mu}^\nu={T_\mu}^\nu$

А почему, собственно, $\tilde {T_\mu}^\nu$ - диагональные элементы? По-моему диагональные - это $\tilde {T_\mu}^\mu$
(без суммирования).

AndrV

30.4.2009, 11:36

tkm, спасибо, ошибся при наборе, отредактировал.
Вопрос остается.

tkm

30.4.2009, 16:15

Изначально тензор у Вас несимметричный, представьте его в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров (это всегда можно сделать). Тогда, чтобы симметризовать исходный тензор, к нему надо добавить минус антисимметричную часть. Но, поскольку диагональные элементы антисимметричного тензора равны нулю, то и диагональные элементы исходного тензора не изменятся.
$\tilde {T_\mu}^\nu= {S_\mu}^\nu + {A_\mu}^\nu$
${S_\mu}^\nu = {S_\nu}^\mu$
${A_\mu}^\nu = - {A_\nu}^\mu{$
Тогда ${T_\mu}^\nu = \tilde {T_\mu}^\nu - {A_\mu}^\nu$
Но т.к. ${A_\mu}^\mu = 0$ (без суммирования), то и $\tilde {T_\mu}^\mu = {T_\mu}^\mu$ (без суммирования) ч. т. д.

ion

30.4.2009, 16:49

Мне кажется, что у Савельева в этом месте ошибка. А вы, tkm, скорее всего, просто невнимательно прочитали сообщение AndrV. Дело в том, что к тензору $\tilde {T_\mu}^\nu$ Савельев добавляет не антисимметричный тензор $Q_\mu^\nu^\rho$ , а выражение $\sum_{\rho}{}\frac{\partial Q_\mu^\nu^\rho}{\partial x^\rho}$ , которое антисимметричным тензором не является. Т.е. исходный тензор несимметричный, к нему добавляют какой-то тензор, который выглядит и не симметричным и не антисимметричным, а получают симметричный.

Т.е. получить симметричный тензор энергии-импульса таким образом удастся, но диагональные компоненты изменятся. Мне кажется, что это и не важно. Дело в том, что этот тензор фигурирует дальше в виде интеграла, чтобы получить 4-х импульс. А добавка при интегрировании диагональных компонент занулиться, только это для дальнейшего и существенно.

Gec

30.4.2009, 17:34

На самом деле у Савельева в этом месте написано довольно таки мутно и мне тоже кажется, что там может быть ошибка . Кстати, в учебнике речь идет о симметрии тензора $T^{\mu\nu}$ , который не равен $T_{\mu}^{\ \nu}$ .

ion

30.4.2009, 18:16

Цитата(Gec @ 30.4.2009, 18:34)

Кстати, в учебнике речь идет о симметрии тензора $T^{\mu\nu}$ , который не равен $T_{\mu}^{\ \nu}$ .

Да это пофиг - оба тензора симметричны одновременно (при поднятии индекса 0 компонента тензора меняется знак, а 1, 2 и 3 нет).

tkm

30.4.2009, 19:25

Да, я тут действительно ошибся. Дело в том, что я в своем доказательстве предполагал, что вычитается антисимметричный тензор, в учебнике же прибавляется тензор, вообще говоря не являющийся ни симметричным, ни антисимметричным. Иными словами, не только антисимметричный тензор вычитается, но еще прибавляется симметричный. ion, молодец, заметил мою ошибку

Homo Sovieticus

1.5.2009, 9:19

Савельев определенно ошибся, согласен с ion'ом.

Цитата

Цитата(ion @ 30.4.2009, 19:16)
Да это пофиг - оба тензора симметричны одновременно (при поднятии индекса 0 компонента тензора меняется знак, а 1, 2 и 3 нет).

Наоборот. При поднятии (опускании) 0 знак не меняется.

josai

2.5.2009, 22:11

Цитата(ion @ 1.05.2009, 0:16)

при поднятии индекса 0 компонента тензора меняется знак, а 1, 2 и 3 не

Цитата(AWP @ 1.05.2009, 15:19)

Наоборот. При поднятии (опускании) 0 знак не меняется.

забавно

Юра Ц

3.5.2009, 3:15

Конечно забавно - у кого-то сигнатура метрики (+---), у кого-то (-+++). Первую я видел, а вторую пока нет....
Что, неужели встречается в литературе и сигнатура (-+++)?

Nacht-Wandler

3.5.2009, 7:39

Цитата(Юра Ц @ 3.05.2009, 4:15)

Что, неужели встречается в литературе и сигнатура (-+++)?

Встречается, например две книжки С.М.Биленького про диаграммы - в каждой своя метрика ::

ion

3.5.2009, 8:54

Честно говоря, я имел в виду сигнатуру (+---), а про знак просто описался. В любом случае это для симметрии тензора, опять же пофиг.

AndrV

3.5.2009, 14:52

Обозначим $X_\mu^\nu=\sum_{\rho}{}\frac{\partial Q_\mu^\nu^\rho}{\partial x^\rho}$
Для того чтобы ${T_\mu}^\nu$ был симметричным, антисимметричная часть тензора $X_\mu^\nu$ должна быть равна антисимметричной части $\tilde {T_\mu}^\nu$ с обратным знаком - это 6 ур-й. Таким образом количество независимых координат тензора $X_\mu^\nu$ должно быть равно 6-и (до написания уравнений для антисимметричных частей), иначе можно произвольным образом менять его симметричную часть (при этом тензор ${T_\mu}^\nu$ отается симметричным), а это означало бы не единственность симметричного тезора энергии-импульса для данного поля. Но доказать математически, что из $X_\mu^\nu=\sum_{\rho}{}\frac{\partial Q_\mu^\nu^\rho}{\partial x^\rho}$ и антисимеетричности по верхним индексам $Q_\mu^\nu^\rho$ следует то, что $X_\mu^\nu$ имеет ровно 6 независимых координат у меня не получается. Может у кого есть идеи?

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.