Уравнения Лагранжа выводится из принципа экстремальности действия. Действие - это функционал. Он может быть записан как для функций, зависящих от одной переменной, имеющей смысл времени (действие для траекторий), так и для функций от нескольких переменных, среди которых ни одна не имеет выделенного смысла времени (действие для полей). В этом смысле уравнения геометричны. В их вид не зависит от выбора системы координат, причем как инерциальной, так и неинерциальной. В ОТО вообще различие между инерциальными и неинерциальными системами координат стираются, поскольку в общем случае инерциальных просто не существует.

Перейдем к уравнениям Гамильтона. Они уже привязаны к переменной t, играющей роль времени. В связи с этим первый вопрос. Как правильно записать уравнения Гамильтона для полей в ОТО, чтобы удовлетворить принципу общекоординатной ковариантности? То есть чтобы вид уравнений не менялся при общей (нелинейной) замене координат, а не только при преобразованиях Лоренца.

Перейдем к квантованию. Нестационарное уравнение Шредингера мотивируется классическими уравнениями Гамильтона и скобками Пуассона. Оно тоже привязано к выбору переменной t (время):



Более того, известно, что оно, записанное для свободной частицы (без потенциальной энергии), не Лоренц-ковариантно в СТО. Поэтому вместо него записывают уравнение Клейна-Гордона-Фока или уравнение Дирака. В связи с этим второй вопрос. Почему уравнение Шредингера именно в приведенной выше форме используется для квантования свободных полей? Например, электромагнитного. При этом говорят, что H - это гамильтониан поля, выражают через Фурье-амплитуды вектор-потенциала, объявив их операторами. А про общекоординатную ковариантность забывают напрочь. Почему?

Почему? Можно и в общековариантной калибровке квантовать. Правда в обычной КМ использует обычно не ЛИ калибровку Кулона, но на то она и КМ, а не КТП.