Вопрос: "Общее количество всех целых чисел – четно или нечетно?"

Казалось бы невозможно ответить на этот вопрос, их ведь бесконечное количество.
Но даже если мы не можем сказать, что количество всех натуральных чисел 1, 2, 3, 4… число четное или нечетное, мы можем сказать точно, что не какое-то третье. Например, количество чисел от 1 до 100 – четное (их количество 100), от 1 до 101 – нечетное (101), от 1 до 102 – снова четное (102), снова нечетное, снова четное и т.д. Если назвать четные числа 'яблоком', нечетные – 'грушей', то какое бы количество мы не взяли – оно не может быть, например, 'апельсином', оно будет принимать всегда одно из двух значений: или 'яблоко', или 'груша'. Следовательно, даже если чисел бесконечное количество 1, 2, 3, 4… – то все равно это количество может быть только четным или нечетным.

Нам известны правила:
1.'сумма двух четных чисел - всегда число четное' (например 4+8=12),
2.'сумма двух нечетных чисел – всегда число четное' (например 3+7=10)
3.'сумма четного и нечетного числа – всегда число нечетное' (например 2+3=5)

Допустим, что количество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4…) четно. Тогда общее количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4…) и целых отрицательных (-1, -2, -3, -4…) также четно (используется правило 1).
Допустим, что количество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4…) нечетно. Тогда общее количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4…) и целых отрицательных (-1, -2, -3, -4…) четно (используется правило 2).

Таким образом, вне зависимости от того четно или нечетно количество всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4… – общее их количество вместе с целыми отрицательными – четно. Так как множества натуральных и целых отрицательных чисел равномощны, то не может быть варианта, чтобы количество натуральных чисел было четным, а целых отрицательных нечетным, также как и наоборот.
Но кроме этого, есть еще одно целое число – нейтральное (не положительное и не отрицательное) – число 0.

Значит количество всех целых чисел нечетно (согласно правилу 3).

Элементарное незнание математики . Давно построен алгоритм пересчета целых чисел.

2 Андрей Рамин
"Докажем" теперь вашим способом, что "количество" целых чисел четно. Очевидно, что натуральных чисел столько же, сколько целых неположительных, взаимно однозначное соответствие: натуральному сопоставляем . На этом основании по-вашему можно заключить, что целых чисел - четное количество.

Этим способом можно "доказать" как четность, так и нечетность "количества" натуральных чисел. Натуральные числа "естественно" разбиваются на четные и нечетные, которых явно одинаковое количество, отсюда заключаем, что натуральных чисел - четное количество. Теперь в качестве упражнения предлагается "доказать", что натуральных чисел - нечетное количество.

Так расскажите о чем знаете.

Это проходят на первых лекциях первого курса "Теория множеств". Перенумеруйте числа так 1 - 0: 2 - 1; 3 - -1; 4 - 2; 5 - -2; ..... Вот мы их и пересчитали, а раз число счетно, но не конечно, то говорить о четности смысла нет.

Андрей Рамин, а если я к каждому целому числу прибавлю 0.5, четность их количества может измениться?

И укажите пожалуйста используемое вами определение четности.

Множество рациональных чисел тоже счетно! Мне просто непонятно, что можно исследовать, если автор просто не знает элементарной математики?

Множество рациональных чисел тоже счетно!

Ты не понял мысль Марсианина.
Очевидно, если взять все целые числа, к которым прибавлено 0,5, то их окажется (если верить первому посту) четное количество!
0,5; 1,5; 2,5; 3,5; ...
-0,5;-1,5;-2,5;-3,5;...

Мы пришли к противоречию, стало быть, способ подсчета четности из первого поста некорректен. Как минимум, неприменим к бесконечным последовательностям.