Студенческий форум Физфака МГУ

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Вычеты

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Урса

17.1.2010, 21:46

При разборе параграфа из одного учебника, у меня возникла проблема с вычетами (2 вопроса). Помогите, пожалуйста, разобраться.
Итак, необходимо вычислить сумму:
$S = -\frac{1}{\beta}\sum_m{f(i\omega_m)}$ ,
при помощи контурного интеграла:
$I = \lim\limits_{R \to \infty} \int{\frac{1}{2i\pi}f(z)n_B(z)}d{z}$ ,
где
$f(z)=\frac{2\omega_q}{z^2-{\omega_q}^2}\frac{1}{ip_n+z-\xi_p}$ ,
$n_B(z)=\frac{1}{e^{\beta z}-1}$ ,
Автор пишет, что этот интеграл (так написано в учебнике, в действительности же подынтегральной функции (?)) равен сумме всех его вычетов в особых точках.
(Вопрос 1: Откуда это? (думаю, это есть в теории вычетов). Может, ссылку кто скинет?

)
Ред: На этот вопрос ответ уже нашла.

Особые точки функции, точнее полюса $f(z)$ :
${\omega_q}, {-\omega_q}, \xi_p-i{p_n}$ ,
где $\omega_q=2{\pi}i m/\beta , \xi_p=i{\pi}(2m+1)/\beta$ ,

Особые точки интеграла (полюса) $I$ и его вычеты соответственно автор учебника приводит в след. виде:
$z_m=2i\pi {m}{k_B}T$ , $R_i=\frac{1}{\beta}f(i{\omega_m})$ , $\beta = 1/{k_B}T$ ,
$z_1=\omega_q$ $R_1=\frac{N_q}{i{p_n}-\xi_p+\omega_q}$ ,
$z_2=-\omega_q$ $R_2=\frac{N_q+1}{i{p_n}-\xi_p-\omega_q}$ ,
$z_3=\xi_p-i{p_n}$ $R_3=\frac{-2\omega_q{n_F(\xi_p)}}{{i{p_n}-\xi_p}^2+{\omega_q}^2}$ ,
где
$N_q=n_B(\omega_q) , e^{ip_n\beta}=-1 , n_F(\xi_p)=\frac{1}{e^{\beta\xi_p}+1}$ ,

На этом этапе возник вопрос 2: как получилась формула для $R_i$ ? То есть какой формулой нужно тут воспользоваться?

King Arthur

17.1.2010, 22:40

В принципе процедура вычисления стандартная. В целях понимания хорошо было бы написать, чему равно $\omega_n$ , по которой берется сумма, хотя это и ясно из вида $n_{B}(z)$ . Это как раз по ее полюсам берется исходная сумма. Не очень понятна роль $\xi_p$ и $\omega_q$ . На сколько я понимаю, это параметры, от которых зависит исходная сумма. Тогда почему Вы выражаете их через $m$ ? Или я что-то не понимаю?

UPD: ну вроде все так, как я и понял. А формула для $R_i$ получается так.
$n_{B}(z)$ имеет простые полюса на комплексной плоскости в точках $z_n=\frac{i\pi n}{\beta}$ . В них и берется вычет.

Урса

17.1.2010, 22:58

Цитата(King Arthur @ 17.1.2010, 21:40)

$\omega_m=(2\pi{m})/\beta$ , $\omega_q=(2i\pi{m})/\beta$ и $\xi_p=2i\pi(2m+1)/\beta$ .
Наличие различных индексов связано в том числе с тем, что задача не чисто математическая, а физическая. Так величины $\xi_q$ , $\omega_q$ соответствуют фермионам (электронам) и бозонам (фононам) соответственно, а так же в отличие от $\omega_m$ - комплексные.
Что касается вычисления $R_{1,2,3}$ я кажется, просто ошиблась в вычислениях по формуле:
$\lim\limits_{z\to{z_{0i}}}(z-z_{0i}){f(z)*n_B(z)}$ ...
Пересчитала. Вроде получилось. Сейчас еще посмотрю, что можно сделать с вычетом для полюсов $z_m=2i\pi k_B T$ . Кажется, мне уже попадалась подходящая формула.

King Arthur

17.1.2010, 23:08

То, что речь идет о сумме по мацубаровским частотам, это ясно.
По-моему, у Вас что-то неправильно в формулах. Если мы же перешли от суммы по m к интегралу, то $\omega_q$ не может зависить от m. Ваш ответ в виде вычетов это подтверждает.

UPD: да, а для вычисления вычета лучше воспользоваться другой эквивалентной формулой.

$Res[\varphi(z),z_n]=\frac{f(z_n)}{\psi'(z_n)}$ , где $\varphi(z)=\frac{f(z)}{\psi(z)}$ , а $z_n=\frac{i\pi n}{\beta}$ - простой нуль $\psi(z)=e^{\beta z}-1$ .
Тогда как раз $R_i=\frac{f(z_n)}{\beta}$ .
Да и остальные вычеты у меня получаются, как было написано, если считать $\omega_q, \xi_p \mbox{ и } p_n$ независимыми от переменной суммирования m.

Урса

17.1.2010, 23:36

Цитата(King Arthur @ 17.1.2010, 22:08)

Да, по ним самым

В принципе, да... Символ $m$ в выражениях для мацубаровских частот лучше заменить на $n$ ... Спасибо.
Я так понимаю, речь идет о формуле: $Res_a=\frac{g(a)}{h'(a)}$ , $f(z) =\frac{g(z)}{h(z)}$ . Эту же формулу можно применить для вычисления вычетов и в случае полюсов $z_m = 2i\pi m/\beta$ ? a - особая точка.
ред: Вижу, что можно

Спасибо Вам большое!!!
ред. 2.
Продлжая разбирать учебник, вдруг осознала, что я написала тут на форуме. После чего аж дурно стало.

Это же надо было записать определение $\omega_q$ , $\xi_p$ (энергию фонона (частоту) и электрона (вернее энергию минус хим. потенциал $\xi_p={\epsilon_p}-\mu$ ) в опред. состоянии соответственно) как полюса функций распределений для бозонов и фермионов $\omega_q=2{\pi}i m/\beta , \xi_p=i{\pi}(2m+1)/\beta$ , упрямо не замечать этого, несмотря на многократные замечания King Arthur

. Не нравится, что $\xi_p, \omega_q, {p_n}$ зависят от m, поменяем символ на n (какие проблемы?)), введем в заблуждение... Только я так могу умудриться

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.