Хотя этот вопрос относится к началам квантовой механики, но все - таки, думаю, он заслуживает обсуждения. По крайней мере, я не совсем это себе представляю.
Всем известно, что энергия электрона в потенциальной яме квантуется. Чтобы не возникало лишних вопросов типа, сколько уровней возможны в яме и т.д. будем считать яму бесконечно глубокой.
Таким образом электрон может обладать лишь дискретными значениями энергии. Но с другой стороны соотношение неопределенностей говорит, что энергия - величина, неопределяемая точно.
Да и сами эти уровни энергии есть средние значения гамильтониана, т.е. автоматически учитываются всевозможные значения энергии.
Так, что же на самом деле означает квантование энергии? Это квантование средних значений энергии электрона?

Квантуется точно не среднее значение энергии частицы, средняя энергия может быть любой, только не меньше энергии основного состояния. Дискретные уровни энергии имеют стационарные состояния. Мне кажется, пока система предоставлена сама себе, соотношение неопределенности не при чем. То есть, конечно, есть некая эволюция - не все состояния стационарны, но распределение по энергиям не зависит от времени. А вот если на систему действует зависящее от времени возмущение, то состояния стационарные до действия возмущения становятся нестационарными после прекращения действия возмущения и как раз возникает неопределенность энергии, связанная с продолжительностью возмущения.

Уровни энергии как раз есть среднее значение гамильтониана, т.е. энергии. Вот среднее значение гамильтониана есть дискретная величина зависящая от номера состояния. Ну действительно, стационарное уравнение Шредингера это доказывает.
На счет соотношения неопределенностей. Ведь во всех книгах по квантовой теории говорится, что принцип неопределенности есть фундаментальный закон природы, который справедлив независимо от нас. Не нужно понимать этот принцип как некую погрешность, вносимую внешним воздействием, хотя из таких соображений можно соответствующее соотношение вывести (но это не вывод истинного закона).
Ну хорошо, сформулирую вопрос по другому. Многие задачи начинаются с таких предложений: "Электрон имеет энергию E...." Задача может быть какой угодно, например, необходимо найти вероятность прохождения через барьер и т.д. Но это не важно. Главное выяснить, как понять, что электрон обладает энергией E. Здесь под энергией понимается среднее значение гамильтониана?

Для свободного электрона волновая функция есть плоская волна. Т.е. свободный электрон с определенным импульсом и энергией распределен по всему пространству и времени, в полном согласии с соотношением неопределенностей. Это можно как - то понять. А вот что квантуется в яме не очень то понятно.
В потенциальной яме тоже электрон распределен по всему промежутку времени и поэтому можно говорить об определенных значениях энергии.Ведь электрон в потенциальной яме представляет собой свободный электрон, а граничные условия как раз и дают квантование. Вот так более понятно, вроде бы

Понял

А почему Вы не рассматриваете взаимодействие с квантовым электромагнитным полем? Ведь от полевых мод никуда не деться. Это я к вопросу о "свободных" электронах.

Не понял. Что за квантовое электромагнитное поле? Вы хотите сказать квантованное электромагнитное поле

Это модель такая. Разумеется, сами уровни ненаблюдаемы. Наблюдают продукты реакций. И вот, все, все линии всегда имеют конечную ширину (в том числе данные с коллайдеров, и чего угодно). Но, одно дело линии, а другое дело непрерывный спектр. Разница ну какбы чувствуется сразу.

1. Можете его называть, как хотите. Меня приучили так.
2. По существу дела: скажем, на примере атома водорода: точное значение энергии, которое получается в результате решения стационарного уравнения Ш., в соответствии с соотношением неопределенностей приводит к тому, что такой уровень должен "жить" бесконечно долго. Тем не менее, в результате взаимодействия с квантовым полем имеют место спонтанные переходы. Они "снимают" эту проблему.
3. Следовательно, электрон не может считаться свободным в принципе, а является именно "свободным". Думаю, моя мысль понятна.
4. В остальном, согласен с предыдущим высказыванием.

Какое нафиг среднее значение гамильтониана. Не забываем, что в квантовой механике физ. величинам сопоставляют операторы. Поэтому говорим не о классическом гамильтониане, а об операторе Гамильтона и о его собственных значениях. Уровни энергии суть собственные значения оператора Гамильтона.

Вы понимаете, что сказали чушь. Гамильтониан и есть оператор гамильтона, как например лапласиан есть оператор лапласа и т.д. Я имел ввиду именно оператор гамильтона. Уровни энергии собственные значения оператора гамильтона. Но умножьте обе стороны стационарного уравнения Шредингера на комплексно сопряженную волновую функцию и проинтегрируйте. Учитывая нормированность волновых функций вы получите, что спектр есть среднее значение оператора гамильтона. Так, что не нужно было мне лишний раз напоминать о собственных значениях оператора гамильтона

Учитывая несколько неконструктивный стиль общения топикстартера, я, в свою очередь, предложу ему умножить обе стороны уравнения Шредингера на единицу или, что еще лучше, ноль.

похоже, среднее значение энергии вы вычислять умеете. а вот сможете ли вы найти дисперсию энергии для стационарных состояний электрона?

А что такое среднее значение оператора?

Примерно такой вопрос я задавал http://wasp.phys.msu.ru/forum/index.php?showtopic=15671
Насколько понимаю дело в следующем.
Полная энергия частицы в потенциальной яме точно определена и квантуется.
А вот импульс и, соответственно, кинетическая энергия не определены, как и потенциальная энергия. Это может показаться странным, что потенциальная энергия не определена, но если решить задачу для ямы конечной глубины, и затем перейти к бесконечному пределу, то неопределенность потенциальной энергии остается (стемится к нулю вероятность определения частицы за пределами ямы, но одновременно стремится в бесконечность разность потенциальной энергии в какого-то уровня в яме и вне ее).
Если хотите получить неопределенность кинетической энергии (или импульса) нужно сделать стандартную вещь: разложить решение уравнения Шредингера (цуг) по собственным ф-ям оператора кинетической энергии (или импульса). Будет ли среднее значение импульса в каком-либо состоянии равно P из уравнения Шредингера (то же для кинетической энергии), не знаю, после разложения надо посчитать вероятность иметь импульсу значения больше и меньше P. Хотя ясно, что если и не равны, то погрешность эта мала.


Вы какой вывод имели в виду?

Соотношение неопределеннсти так не говорит. Соотношение неопределенности между энергией и временем говорит, что delta E delta t >= h/2.

Соотношение неопределенности между энергией и временем

А что ты называешь "временем"?

А Вам-то что?!

Чего-то я смудрил по поводу подсчета вероятности иметь импульсу значения больше и меньше Р.
Увидеть, что среднее значение это Р в ур-ии Шредингера (аналогично для Е) можно просто по стандартной процедуре , где оператор импульса. Получается, что Р из решения ур-я Шредингера - среднее значение импульса.
Почему-то формула не рисуется?

А Вам-то что?!

То, что была сказана, скажем так, не вполне законченная мысль. Какое именно время надо коммутировать с энергией, чтобы получить соответствующее соотношение для неопределенностей, м?

меня тоже занимал этот вопрос, пока я не понял, что ответ на него - в одном из постулатов КМ. каждой физической величине ставится в соответствие оператор.
тогда -> . а соответствующий интегральный оператор уже можно коммутировать с чем угодно.

Воздержусь от ответа и с удовольствием послушаю Вас. Может, прольете свет на этот интересный вопрос (такое впечатление, что Вы что-то знаете, чего не знаю я.)

Дык, время не должно "коммутировать" с энергией.

под "коммутировать" имелась в виду операция, а не результат этой операции.

Интересный текст
по обсуждаемой теме. Обсуждается в каком смысле можно понимать соотношение неопределенностей энергия-время, почему для реалистичных физ. систем нельзя ввести оператор времени, есть ссылки на давнюю работу Тамма и современное развитие этой работы. Найден через википедию.

2 k.o.
Да. Пардон.

Более каноническая книжка
"Time in Quantum Mechanics", Eds: J. G. Muga, R. Sala Mayato, I. L. Egusquiza

Если не найдете в интернете, могу послать по мылу (через форум не получится, файл 8 метров)

на bib.tiera.ru есть 3МБ djvu версия этой книги

Извиняюсь, что долго не отвечал

Нет проблем. Найдите среднее значение энергии, среднеквадратичное значение и найдите разность. Но это не имеет отношения к вопросу

Среднее значение величины определяется математическим ожиданием оператора данной величины. Оно имеет привычный нам вид, когда волновые функции нормированы к единице. Но это тоже не имеет отношения к вопросу.

Аналогичное соотношение выводится в классической теории колебаний и волн. Но это, в отличие от квантового соотношения, объясняется ошибкой вносимой прибором при измерении. Думаю вы знакомы с этой теорией. Но это также не имеет отношения к вопросу.

имеет самое прямое отношение.

посчитайте среднее значение энергии и дисперсию энергии для какого-нибудь состояния электрона в яме и попробуйте их соотнести с этими вашими заявлениями:

Ну вот. Мы видим, что среднее значение величины не равно "уровни энергии".

Квантование энергии означает сопоставление этой величине оператора.
А ничо, если еще есть и вторичное квантование

Не понимаю, почему вы так считаете. Ведь уровни энергии это собственные значения оператора гамильтона. Но в свою очередь собственные значения оператора есть среднее значение величины, описываемой этим оператором. В данном случае уровни энергии среднее значение энергии

В свою очередь, не понимаю, почему Вы считаете эквивалентными эти понятия.
Да, верно, уровни энергии -- собственные значения оператора Гамильтона. Их много. А среднее значение (Вы знаете, как оно определяется) одно. Хотя бы поэтому мы не можем отожествлять эти понятия. Да и из самих определений видна неэквивалентность

Ну хорошо. Пусть мы знаем в каком квантовом состоянии находится система, допустим она находится в n - том состоянии. Тогда энергию этого состояния, т.е. n - тый уровень мы получим подействовав оператором гамильтона на волновую функцию этого состояния. При этом мы имеем: "оператор гамильтона"* "волновая функция n - го состояния"="энергия n - го состояния"*"волновая функция n - го состояния"
Теперь умножив обе части этого уравнения на комплексно сопряженную волновую функцию и интегрируя получим, что собственное значение оператора гамильтона, т.е. n - ый уровень энергии системы есть среднее значение энергии в данном квантовом состоянии. Т.е. все диагональные компоненты матричного элемента оператора гамильтона есть уровни энергии квантовой системы, которые в свою очередь представляют собой средние значения энергии В ЭТИХ СОСТОЯНИЯХ. Т.к. каждое состояние описывается своей волновой функцией, то среднее значение энергии для каждого состояния свое.

Это неверно. Собственные значения оператора - коэффициенты, возникающие при воздействии оператора на его собственные функции.

Что касается среднего значения измеряемой величины, соотвествующей оператору - то оно совпадает с собственным значением оператора, если система находится в состоянии, описываемом собственной функцией, и является некоей суперпозицией собственных значений, если система находится в каком-то другом состоянии. Таким образом, собственные значения не всегда совпадают со средним значением величины.

Что же касается соотношений неопределенности, то тут все просто - чем дольше мы наблюдаем систему, тем точнее мы можем определить положение ее энергетических уровней. Если мы наблюдаем ее бесконечное время - то мы можем определить собственные значения энергии точно. В эксперименте это проявляется в ширине уровней - чем быстрее электрон в атоме может перейти с данного уровня на какой-то другой - тем больше ширина этого уровня (и, соотвественно, тем больше уширение линии спектра, которую атом излучает).

Но иногда совпадают. Именно этот случай, когда собственные значения совпадают со средним значением, я имел ввиду. Выше я объяснил, что имел ввиду

В этих случаях дисперсия среднего значения энергии равна нулю.

Само среднее значение включает в себя всевозможные значения энергии. А уровень энергии это всего лишь среднее из всех возможных значений энергии в данном состоянии. Осталось только понять, что значит утверждение "электрон может обладать лишь дискретными значениями энергии". Ведь сами эти дискретные значения, т.е. уровни, как было уже показано, есть средние значения энергии в этих состояниях.
Среднее значение энергии электрона в первом состоянии одно, во втором - другое, и т.д.

Воздержусь от ответа и с удовольствием послушаю Вас

Изящно, сказать что-нибудь, а на вопрос "а вы что имеете в виду" воздержаться от ответа и возжелать выслушать оппонента. Там, впрочем, ниже есть пост, поясняющий для вас (тебя?) кое-что, к чему я придирался. Надеюсь, вы прочли.

Неверно. Уровень энергии - это СЗ оператора энергии, и он никак не зависит от того, в каком состоянии находится система.


Не надо путать причину и следствия. Дискретные собственные значения не есть средние значения энергии. Наоборот - средние значения энергии в данных состояниях есть собственные значения.

Вы конечно извините, но по - моему вы говорите ерунду. Во первых, было показано, что собственное значение оператора энергии есть среднее значение энергии в данном состоянии. Во - вторых, уровни энергии зависят от номера состояния, например, в потенциальной яме, в атоме водорода, и т.д. Почему вы говорите, что уровень не зависит от состояния системы?

Здесь даже и не пахнет причинно - следственной связью. Выражения "Дискретные собственные значения энергии" и "средние значения энергии в данном состоянии" коммутируют относительно слова "есть"

Нет. Было показано, что существуют состояния системы, в которых среднее значение энергии совпадает с СЗ гамильтониана.


Потому что не зависит. Последовательность действий такова:
1. Записываем гамильтониан.
2. Решаем задачу на его CФ и СЗ. Нумеруем их.
3. Теперь любое состояние системы можно разложить по базису CФ гамильтониана.
4. Теперь можно определить среднее значение энергии, которое является линейной комбинацией СЗ гамильтониана.

Совершать эти шаги в обратном порядке, как предлагаете вы, бессмысленно.


Нет, не "коммутируют". Потому что а) СЗ энергии существуют, даже если мы ничего не знаем про состояние, в котором находится система и б) средние значения энергии далеко не всегда совпадают с СЗ гамильтониана.

Мне интересны именно эти состояния.
Еще раз повторяю, я не говорю в данном случае о произвольных состояниях системы. Последние как раз и выражаются в виде линейной комбинации собственных функций. Я предполагаю, что мы точно знаем, в каком состоянии находится система. Далее я говорю, что энергия данного состояния, т.е. данный уровень, есть среднее значение энергии электрона именно в данном состоянии. Т.к. мы говорим о среднем значении энергии, то это значит, что в данном состоянии энергия, как точная величина может принимать множество значений, иначе какой смысл говорить о среднем значении. Опять не забываем, что речь идет о конкретном состоянии.

Это справедливо для произвольного состояния. Но я рассматриваю конкретное состояние. Поэтому ваше замечание отпадает

Это замечание также отпадает, т.к. я рассматриваю конкретное состояние, в котором пункт б) не выполняется

О среднем значении говорят потому, что в общем случае энергия как измеряемая величина действительно может принимать разные значения. Но если система находится в состоянии, являющемся СФ гамильтониана, то энергия всегда принимает значение, равное соответствующему СЗ.

Вот это как раз и есть сущность моего вопроса. Я спрашиваю, а почему это так? А как же соотношение неопределенности? Это так, потому что мы наблюдаем за системой бесконечно долго, в том смысле, что мы ее не трогаем?

2 Owen
Слушайте, а может, проэкзаменуете заодно меня по всей физике?
Не я придумала принцип неопределенности, поэтому не обязана его интерпретировать и пояснять. Сами разбирайтесь в этом вопросе. Придрался он. И не переживайте так за меня, прочла я или нет. Волноваться вредно

Именно поэтому. Если мы ее трогаем - то к гамильтониану надо добавлять возмущение, а оно как-то испортит имеющиеся у нас уровни, а если возмущение зависит от времени - то у нас вообще не будет стационарного решения.

Совершенно не знаком. Есть соотношение , но к ошибке вносимой прибором это не относится. Потому и спрашиваю, что Вы имеете в виду.
Только у меня не рисуются формулы?

А есть еще соотношение дельта омега * дельта t >1 На самом деле под ошибкой я подразумевал следующее.
Это соотношение в классической физике можно понять следующим образом. Пусть суммируются набор синусоид с частотами в ограниченном диапазоне дельта омега. Пусть в некоторый момент они оказываются в фазе и образуют максимум. Тогда для того, чтобы крайние компоненты расфазировались на 1 рад необходимо время 1/(дельта омега). Спустя еще некоторое время они дадут результирующую намного меньшую максимума. Поскольку амплитуда симметрична относительно синфазной точки, то общая длина цуга должна превышать значение 1/(дельта омега). Но несмотря на это тесная связь между частотой и временем всегда существует, поскольку всегда существует небольшая неточность в измерениях. Вот это я имел ввиду.
Также можно "вывести" соотношение неопределенностей из следующих соображений. (Но опять повторяю, это не вывод. Соотношение неопределенности есть фундаментальный закон природы, существующий независимо от нас)
Чтобы наблюдать за какой - то частицей, надо на нее направить электромагнитную (для примера возьмем электромагнитную волну) волну. Из теории волн, (а также из радиолокации) известно, что минимальная неточность в определении положения частицы равна длине волны. Но частица волны (фотон) ударившись о частицу передает ее импульс, который выражается через частоту, а следовательно длину волны. Выразив импульс через длину волны и учитывая, что длина волны это минимальная неточность в координате, получим соотношение между неопределенностью импульса и координаты. Но это не является истинным соотношением неопределенностей, т.к. последнее не связано непосредственно с нашим воздействием на систему.

zaur, Вы писали

Я Вас спросил, что Вы имеете в виду и Вы сейчас ответили

Это не классическая теория колебаний и волн, а квантовая механика.

Ну да. Рассматривается взаимодействие кванта с другой частицей. Я просто хотел показать, что хотя таким образом и выводится соотношение неопределенностей, но понимать его таким образом ненужно. Это известный факт