Здравствуйте. Подскажите, есть ли книжки, кроме, например, Калиткина и Самарского, где расписана схема для такого уравнения методом линеаризации Нютона-Рафсона. Я уже все книжки пересмотрел. Схему написал. Коэффициент теплопроводности зависит от температуры как степенная функция степени "альфа".\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dx} T^(\alpha) dT/dx - тепловая волна.

Для альфа = 1 - все работает. Волна идет.
Для альфа = 2 - большие осцилляции с определенного времени.
Для альфа = 1.95 - все работает. Волна идет.

Если берем альфа = 0 - получаем такую же схему, как для линейного.

Заранее большое спасибо.

Уточните, пожалуйста, какую задачу вы пытаетесь решить и каким методом (лучше бы написать уравнение в разностной форме). Метод Ньютона-Рафсона --- это решение нелинейных алгебраических уравнений (или нахождение экстремума). Перед вами УРЧП. Оно сводится к СЛАУ путем той или иной разностной аппроксимации. На примере теплопроводности это разбирается много где, в частности, в "Ур. мат. физ." Тихонова и Самарского, с.565.

\frac{du}{dt} = \frac{d}{dx}A(u)\frac{du}{dx}

можно решать уравнение методом последовательных итераций(полностью неявная итерационная схема Пикарда) - A(u) - с предыдущего слоя, можно линеаризацией по Ньютону, когда A(u) на верхнем слое расписывается в ряд Тейлора до первой производной. Вот мой вопрос по схеме вторым методом. В Н.Н. Калиткине "Численные методы" (стр. 387-388) - там он не А(u) расписывает(ну там каппа у него), а полностью функцию как я понял.

Так, значит вы хотите пройти по ф-ле (51) из Калиткина, решая получившиеся нелинейные уравнения методом Ньютона. Если вы просто подставите ваше выражение для теплопроводности в эту ф-лу --- получите нелинейные уравнения f(y_(n-1), y_n, y_(n+1))=0. Решать цепочку связанных нелинейных уравнений тяжело, поэтому у Калиткина и написана линеаризация: считаем, что перепад температуры за один шаг по времени мал, подставляем y=y_s+dy_s в уравнение (в том числе и в выражение для теплопроводности), выбрасываем все члены, кроме линейных по dy, остается СЛАУ (53), которую решаем прогонкой. Это честнее, чем по (50), но ненамного. Совет: если нет причин решать именно этим способом, попробуйте решить через (50) --- беря теплопроводность со старого шага. Уменьшите шаг по времени, если у вас задача одномерная, от этого вы сильно не обеднеете. Мой опыт численника говорит, что, пока проблема не возникла, не стоит лезть в очень сложные методы, направленные на ее лечение.

Спасибо за ваш оперативный ответ.