Доброго времени суток, уважаемые физики. Я хотел бы ознакомиться с применением тензоров в физике, не могли бы вы посоветовать мне какой-нибудь не слишком сложное пособие по этой теме.

2 4RhsU2VsL Какая цель? Если задача - ознакомиться с более-менее современным математическим языком дифференциальной геометрии, то W. M. Boothby, Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Есть на колхозе, точно. Если нужно более продвинутое, то Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.
Если хочется тесной связи с физикой, то Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. По математической формулировке классической теории поля - Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. Это если хочется познакомиться с современным языком, который сейчас используется. Но задача нетривиальная, если разбираться самому, да.

Еще вопросы такие - какой бэкграунд математический? Всмысле, что уже знаете?

Большое спасибо за предложенную литературу. Но мне кажется, что труд "Гравитация" (Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер), судя по нескольким первым главам, носит несколько популяризаторский характер и почему-то начинается с благодарности налогоплательщикам (:



Не совсем понял что означает эта фраза, не могли бы вы объяснить мне?

> Еще вопросы такие - какой бэкграунд математический? Всмысле, что уже знаете?
Физический факультет. Первый курс. Ничего не знаю

2 4RhsU2VsL
Идите учиться в НМУ в след. году. Можно прямо с нуля. Но если за лето подтянуть алгебру, анализ и топологию, то можно попытаться и начать с анализа на многообразиях. Впечатления насчет трехтомника Мизнера, Торна и Уиллера ошибочное, там идет изложения для разного уровня, начиная от самого наглядного, потом основы анализа на многообразиях и псевдоримановой геометрии, а дальше начинается уже ОТО. С этой книжки можно пока начинать, но я бы советовал все же идти в НМУ, на первый курс.

Да, возможно, моя оценка была слишком поспешной.
Впервые услышал об НМУ от вас. Насколько я понял в НМУ существует программа для обучающихся в других высших учебных заведениях, то есть обучаться там можно параллельно с обучением на физическом факультете?

2 4RhsU2VsL НМУ - это набор спецкурсов в вечернее время для всех желающих. Требуется только желание заниматься математикой. Просто поймите, Тензорный анализ - это термин надуманный, тут речь идет о геометрии многообразий. А для того, чтобы это понимать нормально, а не на уровне заклинаний с символами Кристоффеля, нужно кое-чего знать. Хорошо, что озаботились этим так рано. Советую в первую очередь налечь на алгебру. А именно - Винберг Курс Алгебры и Кострикин Манин Линейная алгебра и геометрия. Последнюю книгу необходимо освоить полностью, там все темы крайне важны. Заодно и линал к экзамену подучится. Главное понять что такое тензорное произведение и что тензор - не многомерный массив чисел.

Иван, сегодня вы на удивление предсказуем в этом треде

2 unnamed-user Хорошо, хорошо, Позняк - Шикин -- решение всех проблем. Вот только когда распределимся на кафедру теорфизики, то не стоит удивляться тому, что нифига не понятно на спецкурсе, к примеру, Гальцова по геометрическим методам в теории фундаментальных взаимодействий или Сарданашвили по геометрическим методам в теории поля. Вот будет прикол, если в середине четвертого курса поймешь, что не знаешь НИЧЕГО
http://theorphys.phys.msu.ru/education/geom_metody_tfv.html
http://theorphys.phys.msu.ru/education/geom_metody_tp.html

Я, наверное, порекомендовал бы в следующем году факультативный курс "Тензорный анализ".

Ну вот если человеку нужно применение тензоров именно в физике, то почему нет? В той же гравитации во всех известных мне книгах изложение ведется именно на координатном языке.
Ну там есть не только первые главы .

Про НМУ прочитал, попробую приобщиться в следующем году (:
Курс Алгебры Винберга я начал читать в конце первого семестра, в качестве пособия по Линейной Алгебре выбрал одноименную книгу Постникова (по-моему достаточно хороший учебник). Почему вы рекомендуете именно Кострикина и Манина?



Слышал про этот курс.



Но не в ущерб же математическому аппарату



Осознал свою ошибку

Да оно и не в ущерб... Тут есть некоторый конфликт между красотой и удобством. Аппарат, согласно которому тензор - это числовой набор с определенными правилами преобразования при переходе от одних координат к другим, вполне замкнут и непротиворечив. Тот бескоординатный подход, который предлагает ivandasch, конечно, несколько более общий и красивый, но я искренне не понимаю его важность для большинства физиков-теоретиков и даже для многих математиков-неалгебраистов. А для того, чтобы решать какую-то реальную физическую задачу, все равно, скорее всего, придется возвращаться к координатам.

Да, действительно хороший.

>Главное понять что такое тензорное произведение и что тензор - не многомерный массив чисел.

Опять-25...

4RhsU2VsL
Постников -- это, в принципе, классика, так что если нравится, почему бы нет.

На лекции нам был предложен первый подход. Собственно, вот.

>На лекции нам был предложен первый подход. Собственно, вот.

Да известно это все. На самом деле, ivandasch выпендривается , потому что всякие инвариантные вещи хороши там, где они хороши, но когда надо что-то посчитать, все равно, в конечном итоге, решать (численно на компе, например) будешь дифуры в координатах, а у ivandasch-а, когда он троллит, "мне не нравится" и "говно" -- это синонимы.

это кто тут троллит? Задолбали уже. Cartesy, пойди, скажи Щепетилову или Кадомцеву что они алгебраисты. Пойди и скажи Сарданашвили и Гальцову, что они реальными физическими задачами не занимаются. Надо же, алгебраистам нужен этот язык, теперь Кобаяси Номидзу пособие для алгебраистов! Пойди, расскажи это Кадомцеву или Бадьину, насмешишь старика. Посмотри программу спецкурсов Гальцова, Щепетилова, что на твоей кафедре. Очень они сильно отличаются от того, что я говорю? White, ты вообще долбаный тролль, утверждаешь, что вектор - набор чисел. Тебе делать нефиг, как первокурсникам мозги морочить? Кто говорил, что не нужны символы Кристоффеля? Просто надо понимать, что за этим стоит что-то больше! Что это связность на расслоении, глобальный объект, что связность - не тензорное поле, что глобально координаты не задаются. Много чего надо понимать, прежде чем тупо считать в координатах. Или понимать теперь для мега-гуру зазорным считается? Тру - это тупой счет, не приходя в сознание? Короче, вы, парочка, задолбали. Если не верите - распечатайте дискуссию и отнесите к Бадьину тому же, пусть поржет. Тьфу на вас, вызвали таки butthurt.

вам был предложен первый подход потому, что лекторы считают студентов в массе своей не способными понимать что-то большее. Дают, чтобы не парилиться, ибо не в коня корм.

Возможно, я что-то не понимаю, но, все-таки, подход "от простого к сложному" выглядит довольно логичным.

2 4RhsU2VsL второй подход проще, а первый сложнее. Потому что не понятно с какого бодуна все эти кучи формул с многоэтажными индексами взялись. На тензоры дается пару лекций от силы, вот и дают "чтобы было". А уж в спецкурсах учат заново. Блин, да что я тут распинаюсь. Я привел программу спецкурсов, там есть книжки, читайте. Там примерно все то же самое, просто мне нравятся другие книжки. В новикове тайманове тоже основное скажут.

Не буду спорить, ибо не знаю предмета в должной степени.



Не думал, что моя тема доставит какие-то неудобства о_0. Спасибо за информацию.

2 4RhsU2VsL Да никаких неудобств, просто не хочется доказывать чего-то. Все, что я накалякал, мой опыт, я его сам прошел и обдумал, советуясь с умными людьми, в том числе и теорфизиками, я не говорю про математиков, это для них даже не повод для обсуждения. И тут появляется парочка деятелей, которые сами нифига не знают, знать не хотят, но мнение имеют. И еще поучают, даже вот Бадьина кое-кто тут поучал. И меня уже задолбало с ними спорить. Просто за вас обидно, у вас столько еще времени, его не надо терять, уже сейчас можно и нужно учить, чтобы потом не жалеть, что зря время терял. Я только ради таких первокуров тут и пишу, потому что мне в свое время никто информации этой не дал.

Должно быть, это выглядело весьма забавно. (:

ivandasch
Тем не менее, огромное количество монографий и статей по теорфизике пишутся на координатном языке. И я свое мнение про координатный и бескоординатный подход тоже сформировал по результатам общения со многими квалифицированными людьми. Раз человек спросил про применение тензоров в физике - то там проблем и с другим хватает, не только с некрасивостью координатного подхода. А то в теории гравитации встречается, что в метрике не учтено одно из линейно независимых решений исходного дифуравнения, зато все великолепно ложится на бескоординатный язык. Согласитесь, это куда бОльшая проблема.

2 Cartesy
Гальцов не физикой занимается? Блин, как же задолбали то! Ну не хочешь знать - не знай. Другим только нефиг советы давать!

2 ivandasch
А что, кто-то говорил про всех? Я говорю к тому, что большинству теоретиков достаточно и координатного подхода.
P.S.И что, иного способа доказать свою точку зрения, кроме наездов, нету?

Гм,тогда выходит,что большинсту экспериментаторов видется,что тензор - это тупо просто матрица?)
Хватит уже оффтопить,а?))
Вопрос более в тему : ни у кого из тут присутствующих не завалялось методичек НМУшных?)
И где их преобрести можно?)

2 unnamed-user По большей части их можно скачать на сайте МЦНМО в разделе free-books, часть купить в самом НМУ за копейки, а часть еще не издана. Так что по этим вопросам прошу в личку, потом объясню почему.

Ответ зависит от того, какой физикой ты хочешь заниматься. Точку зрения Cartesy я много раз слышал, и в каких-то случаях она имеет право на жизнь. Например, если решать численно уравнения гидродинамики или что-нибудь из теории упругости да тензором деформации, то математический взгляд на тензоры ничего не даст и, потратив много времени на его изучение, все равно сразу все забудешь, потому что на практике никакого применения этому пониманию не найдешь. Но это верно до тех пор, пока пространство, где рассматриваются тензоры, евклидово, в смысле, плоское.

Если же хоть как-то затрагивать ОТО или теорию поля, здесь я полностью согласен с Ivandash'ем: то, как учат физиков ("тензор = набор чисел, преобразующихся по правилу") -- никуда не годится, и математический взгляд строго необходим. В плоском пространстве касательная плоскость отождествима с самим пространством, и рассуждения про касательное расслоение могут показаться пустым умствованием -- но при первом упоминании кривизны это различие становится принципиально важно. Кривизна проявляется не только в ОТО. Это, например, еще и вся теория групп и алгебр Ли и их представлений -- то есть физика частиц, калибровочные теории и т.п.

Немного расширяя вопрос, я бы сказал, что дифференциальная геометрия и теория групп и алгебр Ли -- это та математическая база, без которой невозможно понять основания современной теоретической физики. Вот, например, почему у частицы есть спин? Откуда эта группа su(2) берется? И почему этот спин может быть полуцелый, то есть почему su(2) а не so(3)? Это фундаментальный вопрос. Ответ на него -- теория групп и алгебр Ли. Различие между SU(2) и SO(3) есть только на уровне группы, то есть это глобальный топологический эффект, одной алгебры и выписывания генераторов в координатах недостаточно. А связь между алгеброй и группой это дифференциальная геометрия.

Вообще, математическое понимание тензоров -- это далеко не понты, позволяющие переписать все в бескоординатной форме, прежде чем вернуться к решению уравнений в координатах. Это понимание природы объекта, с которым работаешь -- я видел, как люди пытаются делать с тензорами операции, очевидно не имеющие никакого смысла, если хоть немного знать, что такое тензор на самом деле. Кто в каком пространстве живет и кто на кого действует -- центральные вопросы, и без понимания которых, я считаю, невозможно навести порядок в голове.

Меня всегда поражало то, что после стандартного курса физфака большинство студентов считают, что тензоры -- это очень сложно. Один этот факт показывает, что надо что-то менять. Тензоры -- самый естественный геометрический объект. В природе нет ничего проще (или уж по крайней мере естественнее) тензора.

2 Fred Golm Более того, сейчас современный взгляд на теорию поля такой. Поля рассматриваются как сечения некоторого расслоения со структурной калибровочной группой, лагранжиан - форма на расслоении струй этого расслоения, калибровочная инвариантность рассматривается как связность на этом расслоении, а характеристические классы этого расслоения помогают найти инстантоны, монополи и прочие важные свойства этого поля. Прикол в том, что на физфаке это рассказывают на некоторых спецкурсах, но народ туда обычно не ходит, а если ходит - мало что понимает.

Супер тема
А если по делу
лекции Зайцева http://dmvn.mexmat.net/algebra.php
Ну или если сильно хочется Коренев http://www.twirpx.com/file/5084/

2 Erwin Совсем не по делу. Первая ссылка - линейная алгебра, причем совсем не понятно почему именно Зайцев? Винберг, к примеру, с той же кафедры и читает на порядок лучше. Да и книжка его по алгебре давно стала классикой. Вторая ссылка - вообще хлам, уж если хочется старого языка, то есть Рашевский в конце-концов. Если хочется более понятное для физиков, то есть Новиков Тайманов. Короче говоря, совсем не по делу.

2 ivandash
Только, конечно, это не калибровочная инвариантность рассматривается как связность на этом расслоении, а калибровочное поле . А калибровочная инвариантность -- это всего лишь утверждение, что если связность попытаться задать координатами, то это неоднозначная операция. Это прекрасный пример ситуации, где знание геометрической природы объектов имеет центральное значение. На естественном бескоординатном языке "калибровочную инвариантность" даже не надо определять -- она зашита в саму структуру. Понятие калибровочной инвариантности -- артефакт, появляющийся в момент введения координат; все геометрические объекты обязаны быть "калибровочно инвариантными". То есть на правильном языке это почти что пустое утверждение. А на неправильном языке это выглядит как очень сильное требование -- "давайте изучать только лагранжианы, инвариантные относительно вот этого чудовищного преобразования". И, несомненно, любой теоретик просто обязан это знать.

Но я в своем предыдущем посте хотел сказать немного о другом. А именно, что математику полезно знать далеко не только "суровым теоретикам", занимающимся теорией поля. Правильный взгляд на тензоры полезен и в других областях, гораздо более широком их спектре. Не во всех, нет, так что не обязательно вводить это в программу первого курса (впрочем, если геофизика обязательна для всех, то почему бы и нет...). Но гораздо более широком, чем почему-то принято считать.

А книга Новикова-Тайманова в самом деле хороша. Нам Дынников дифференциальную геометрию по ней читал, и это был очень хороший курс.

2 Fred Golm Да, да, конечно, я чушь сказал Калибровочное поле, конечно же, является связностью. Запутался в терминологии немного. Новиков Тайманов хорошая книга, в самом деле, просто мне больше немного другое нравится. Физикам, как мне кажется, она должна нравиться.

Ну а чо, нормально... Зато не будет выделяться из серой массы
Сорри, это меня на воспоминания потянуло...

Р Дж Макконнелл Введение в тензорный анализ