Как рассчитать уровни энергий атома непосредственно из матричной механики? (А также матрицы других присущих ему физ. величин).
Т.е., не путем нахождения матричных элементов с помощью пар функций, полученных при решении уравнения Шредингера в кулоновском поле, а сразу на языке матричной механики, без уравнения Шредингера.

1. См., например, Х. Грин "Матричная квантовая механика", глава 6, параграф 1. Недавно УРСС переиздало эту книгу.
2. Также, спектр и волновые функции атома водорода могут быть получены с помощью вектора Лапласа-Рунге-Ленца (в теории углового момента). В учебной литературе этот вопрос (особенно вычисление коммутаторов и нахождение ВФ) освещен слабо. Доступно об этом написано у ЛЛ, т. 3, но вычислений коммутаторов Вы там не найдете.
Я этим вопросом занимался, если будет нужно, могу дать ссылки на оригинальные работы.

Спасибо, Грина нашел, почитаю.

функции Грина и операторы рождения и уничтожения частиц, насколько помню

Еще это изложено в учебнике Фока по квантовой механике (про книжки по теории групп я упоминать не хочу).