Увидел одну тривиальную задачу, но захотелось подойти к ней с энтузиазмом и рассмотреть все возможные тонкости.

Исходная задача:
Перед вами рисунок.
На горке стоит шарик, который может скатиться по трем разным траекториям (1-выпуклой, 2-прямой и 3-вогнутой). Силой трения пренебрегаем!

Катясь по какой из траекторий шарик наберет НАИБОЛЬШУЮ скорость в конце горки (по абсолютной величине)?

Интересно, какой будет ответ в задаче если учесть силу сопротивления воздуха.

Сопротивление воздуха прямо пропорционально скорости. На первой траектории шарик сначала катится сравнительно медленно, а лишь в конце набирает большую скорость. Следовательно, сопротивление воздуха в начале несущественно, а в конце нарастает и лишь в самом конце становится существенным. Для траектории 3 все наоборот. Сначала шарик как следует разгоняется, а затем движется с набранной скоростью лишь слегка разгоняясь. В этом случае сопротивление воздуха в начале пути нарастает, а в конце - большое и почти не меняется. Для траектории 2 наблюдается промежуточная ситуация.
Из сказанного можно сделать вывод, что на участке 3 шарик испытывает существенное сопротивление воздуха дольше чем на других участках.
Таким образом ответ: V3<V2<V1

Похоже на правду, но дело в том что необходимо учесть еще один фактор - путь. Путь в случае 1 больше чем в случае 2.

И закон сохранения энергии, независимый от пути

Рекомендую освоить понятие "консервативные силы" перед тем, как в следующий раз писать в этой теме.

А пока, пожалуй, коричневые штаны - вроде уже не первый случай.

Путь в случае 1 больше чем в случае 2.

Рассмотрим предельный случай пути 1, коль скоро аналитический вид "кривых" траекторий все равно не задан. Сначала пусть шарик катится вперед с ничтожным уклоном почти до упора, а потом падает практически отвесно. Очевидно, путь, на котором работа силы трения будет ненулевой, т.е. длина вертикального участка, будет меньше длины диагонали, и на каждом малом участке при равных скоростях потери на диагональной траектории будут больше, чем на вертикальном отрезке.

Здесь интереснее вопрос : по какой траектории шарик быстрее соскользнет (хотя, это тоже известная задача)?
P.S. Коль силы трения, по условию, нет, то именно соскользнет, а не "скатится".

Если никакого трения нет, как по условию, то скорость зависит только от расстояния по вертикали между начальной и конечной точками. Качение (момент инерции) не зависит от траектории, одинаково уменьшая скорость всех траекторий по сравнению с полным скольжением. Трение скольжения зависит от длины пути, его качества, скорости и давления на опору, поэтому потребуются эти его характеристики, если пренебречь условием его отсутствия. То же для аэродинамического трения, зависящего от числа Рейнольдса, включающего плотность среды, скорость, размеры. Здесь известна только форма тела - шарик.

В предельном случае все понятно, интересно можно ли сказать что-нибудь про промежуточные случаи (как на рисунке), не прибегая к численным расчетам.

А если вопрос поставить несколько иначе. Какой путь пройдет шарик от момента отрыва от конечной точки горки, находящейся на определенной высоте. В этом случае максимальный путь, от точки отрыва до точки падения, будет по третьей траектории и соответственно минимальный по 1? Если это так, получается парадокс :, но при этом проходит больший путь?

Минимальный по второй. Или дуга короче хорды?

Конечно, дуга не короче хорды, но путь шарика будет наименьшим именно по 1 траектории. Если сравнить 3 траекторию с трамплином, вогнутость которого как раз обеспечивает более дальний прыжок лыжника, по сравнению с идеально прямым наклоном горки, то получается выпуклая траектория движения обеспечивает еще более меньшую дальность?

Эта вогнутость нужна для изменения направления скорости на горизонтальное.



Путь 1 -минимальная средняя скорость

Путь 2 -минимальный путь

Путь 3 - минимальное время