Предлагаю доказать следующее очевидное утверждение: если -- гладкое отображение в , причем расстояние между любыми двумя точками оно увеличивает не более, чем в C, то объем любого множества распухает не более чем в раз. Под объемом я подразумеваю внешнюю меру, т. е. инфимум объема набора параллелепипедов, полностью покрывающих наше множество.

Нетривиальность в том, что наивная попытка это доказать наталкивается на следующий факт: по условию мы прекрасно знаем, что происходит с объемом шарика. Но если параллелепипедами можно покрыть все, что угодно, с минимальными перекрытиями (меньше любого ), то тот же кубик шариками не покроешь!

Задача, конечно, по математике, но факт сам по себе настолько очевиден, что его нетривиальность, по-моему, интересна.

Доказательство, до которого я пока додумался, грешит пробелами и ссылается на всякие теоремы. Может, кто умеет попроще?

По индукции нельзя доказать?

По индукции?! По кому? По числу точек множества? Ну если докажете, то можно, конечно, только что-то я сомневаюсь...

Кстати, почему Вы говорите о наборе параллепипедов? А не об одном, наименьшем паралелепипеде, в который попадут все точки множества?

А, множество, что-ли плотное? Ну тогда по индукции не получится, конечно.

2 Dims
1. Почему я говорю о наборе? А вы попробуйте измерить объем шарика, вписывая его в один параллелепипед. Что у вас получится? Hint: откуда возьмется пи?..
2. Вопрос о том, плотное ли множество, конечно, интересен. По индукции вы что-нибудь докажете только для множества из конечного числа точек. Даже не для счетного! А я вам и для счетного сразу скажу, что его объем -- ноль и доказывать нечего.

Поставлю другой вопрос. Если его решить, задача решается тут же. Покрывать параллелепипед шариками не получится, так что давайте их вписывать. Рассмотрим плоскость, на ней квадратик. Впишем в него круг. В оставшиеся лепестки впишем еще по кругу в каждый и т. д. счетное число раз. Верно ли, что суммарная площадь всех кругов равна площади квадрата? Если верно, то дальше делать в общем-то нечего.
Доказать можно двумя способами: 1) просто просуммировать эти площади и в лоб получить то, что надо; 2) показать, что любая внутренняя точка квадрата содержится хотя бы в одном нашем круге. Второе утверждение более сильное и необязательно верное. А для первого способа надо сначала решить вспомогательную задачу: пусть есть три круга, касающихся друг друга внешним образом. Вписываем в промежуток между ними четвертый круг, касающийся трех первых. Чему равен его радиус? Я пока этого посчитать не смог.

Не верно. Потому что количество вписанных окружностей счетное. Суммарная площадь всех кругов (счетного количества) S_2, будет всегда меньше площади квадрата S_1. На какую величину - зависит от количества кругов. Когда количество кругов стремится к бесконечности, значение S_1 - S_2 = X стремится к нулю.
Если Вам не лень, то нарисуйте чертежик(три соприкасающихся окружности, внутри еще одна, теугольник описанный и треугольник с вершинами в центрах) и обозначте точки буквами.

Попробуем посчитать не только площадь круга, но и площади остающихся сегментов.

Э-э, вы знаете, что такое "счетное"? В смысле, чем оно отличается от "конечного"? Вот как раз последнее ваше утверждение (про стремление к нулю) я и прошу доказать; оно неочевидно.


Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Радиусы всех шаров, кроме синего, известны. Найти радиус синего. Я умею писать уравнение из теоремы косинусов, но только оно как-то не решается. Может, кто придумает способ. Площади считать пока не надо. Если решить эту задачу, дальше надо суммировать некий ряд (и лучше -- сначала численно, а то вдруг то, что пытаемся доказать, неверно?).

Э-э, оно не отличается. Есть "счетное конечное", есть "счетное бесконечное".

Извиняюсь! В теории множеств счетное и конечное совершенно различные понятия.

В остальном:
Попробую разобраться. Сообщу.

Нажмите для просмотра прикрепленного файлаНужно нарисовать вот такую штуку и обозначить буквами все точки пересечения.

2 Какоткин Р. В. OK, терминологическое недоразумение. Меня учили без всяких "счетных бесконечных". Просто: конечное, счетное, континуум, 2^континуум и т. д. См., например, мой ответ Dims'у про объем конечных и счетныъх множеств.

А чо картинки такие мелкие? у всех зрение офигенное?

Согласен. В терминологии всегда можно определиться.

У нас в задаче оценка сверху. Поэтому мне кажется, что можно спокойно вписывать в один паралелепипед. Или с паралелепипедами очевидно, что превысит?

А мы разве не знаем, что происходит с объемом m-мерного кубика при увеличении расстояния между точками не более чем в С раз? Я не совсем понимаю, зачем нам вообще нужны какие-то шарики?
По поводу терминологии. Свойства множества - счетность и конечность - это разные свойства.
Счетность - это возможность каждому элементу поставить в соответствие некоторое натуральное число.
Конечность - это тот факт, что число элементов в множестве конечно.
Счетное множество может быть конечным и бесконечным. Например, множество рациональных чисел счетно. Конечное множество обязательно счетно.
Если вписывать в один параллелепипед, то для выполнения условия теоремы требуется еще и односвязность множества.

Если вписывать в один параллелепипед, то для выполнения условия теоремы требуется еще и односвязность множества.

Зачем это? Что, двусвязное множество нельзя вписать в параллелепипед?..

Насчет одного параллелепипеда -- да пожалуйста, если докажете, вписывая в один, то флаг вам в руки. Только один параллелепипед дает, имхо, оценку уж слишком сверху. Ведь C^n -- это достижимая грань. Но, не спорю, может и получиться.

2 Relana: Про счетность и конечность -- а некоторые математики называют счетным множество, изоморфное . То есть только бесконечное. И поэтому другие математики (например П. Халрош в учебнике "Теория меры" -- первый, что под руку попался) специально это оговариавают -- "для упрощения изложения везде в дальнейшем под счетными множествами (покрытиями) мы будем подразумевать конечные или счетные множетсва (покрытия)".

2 Relana: А мы разве не знаем, что происходит с объемом кубика...
Мы-то знаем. Только доказать это не так-то просто. Именно этим мы и занимаемся.

А вот односвязность здесь, по-моему, совсем ни при чем. Достаточно доказать наше утверждение для параллелепипеда. Если строго, то это следует из того, что в мера Лебега совпадает с борелевской мерой, которая полностью определяется своими значениями на компактных множествах. А все компакты, опять же в , порождаются параллелепипедами. Так что можно не париться.

Конечно можно! Просто если вписывать в один параллелепипед, тогда непонятно, что при этом с объемом происходит... В односвязных объем пропорционален диаметру в степени размерность пространства, а в многосвязных все сложнее. Хотя, по большому счету, односвязность тут вообще не при чем.
Ну а если попробовать выразить объем параллелепипеда через диаметр? По аналогии с шариком. По сути дела диаметр - большая диагональ пар-да. Увеличивается в С раз. Тогда можно найти, во сколько раз при этом увеличивается объем... Хотя не буду парицца, не сильна я в этих ваших Лебегах, да и Бореля тока краем уха слышала..

Победа, товарищи!
Внутренность кубика полностью покрывается вложенными шариками. А объем каждого шарика увеличивется не более, чем в C^n раз.

Вкратце доказательство того, что кубик полностью покрывается: берем кубик, фиксируем эпсилон, запихиваем (любым способом!) сколько сможем непересекающихся шаров такого радиуса. Когда больше не впихнуть, начинаем пихать половинного радиуса и т. д. Утверждение: замыкания этих шаров полностью покрывают внутренность куба. Ведь объединение замыканий шаров замкнуто, дополнение к нему открыто, и любая точка оттуда принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью. Тогда в нее на некотором шаге можно было втиснуть шар достаточно малого радиуса. Но мы этого почему-то не сделали! Противоречие! И не надо считать никаких радиусов. Все доказано.

Всем спасибо, все доказали, так что тему можно закрывать...