Слышал, в свое время, такую задачку:

Можно ли гладко причесать волосатый шарик без макушек и проборов?

От себя добавление: волосатость равномерная и всюду плотная.

Сам я ее решил (получилось, что нельзя), но, думаю, должно быть более красивое решение, нежели мое. Может кто знает?
Свое выложу через несколько дней, заодно и проверим.

можно. электродинамика рулит. в центр шара сферический заряд. волосы дыбом. прическа однако. хотя не гладкая.

Эйлерова характеристика шара равна двум. А эйлерова характеристика многообразия, в частности, равна сумме индексов особых точек векторного поля общего положения на нем. Поэтому должно быть по крайней мере две простые особые точки (например, причесать шар по параллелям, особые точки -- полюса), либо одна с индексом два (полюса можно друг к другу придвинуть).
Точно так же, из многообразий вида "сфера с g ручками", можно причесать только тор (у него нулевая эйлерова характеристика). Вообще, для поверхности рода g .

Встречная задачка. Карту Москвы скомкали и кинули на стол (дело происходит в Москве). Доказать, что на этой скомканной карте найдется точка, которая находится точно в том месте Москвы, которое она изображает.
Задачка, как ни странно, тоже на топологию, причем на ту же тему!
Немного подумал. Задачка решается и без топологии, причем даже проще. Но неважно...

2 M_T
вроде банально.
скомканная карта занимает какую-то область плоскости, куда ее положили. смотрим, где находится отображение этой области на карте. очевидно, это отображение будет находиться внутри области, которую занимает сама карта.
потом рассматриваем нашу маленькую область и смотрим, где она находится на карте.
продолжая этот процесс бесконечно, в пределе получим искомую точку.

Да. Называется "Принцип сжимающих отображений". Это и есть решение без топологии.
Но в этом рассуждении существенно используется, что на карте Москва нарисована мельче своего реального размера. А если мы умдрились изготовить карту, которая по площади больше Москвы, скомкать ее и бросить на стол? Топологическое решение проходит и в этом случае!

Ежики не причесываются...
Ответ: нельзя.

Мое решение. Вводим векторное поле на сфере (волосы). Тогда на макушке или в точке на проборе будет или (вообще говоря, , т.к. длина "волос" везде одинакова). Причесанность дает нулевую нормальную составляющую поля и дифференцируемость везде, кроме макушек и проборов. Вот и все. Формулы для rot и div в сферических координатах мы знаем(если не знаем, то открываем, например, "приложение" в 8-м томе ландавшица). Подробное решение:

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Думаю, можно еще доказать, что макушек (простых) должно быть не менее 2-х. Предлагаю такую схему:
Предположим, что только одна макушка. Делаем разрез от этой макушки до диаметрально противоположной точки. То, что получилось, гомеоморфно отображаем в прямоугольник с парой противоположных сторон – берегов разреза. Суммарный поток через границу прямоугольника (циркуляция по границе) не будет равен нулю. Применяя формулу среднего значения и формулу Остроградского (Стокса), получаем, что в прямоугольнике есть точка с (), т.е. еще одна макушка, что противоречит предположению.
А в случае 2-х макушек просто указываем непосредственно, как причесывать.

Что скажете? Правомерно ли требовать и для всех точек на сфере, если нет макушек?

2M_T Интересно. Видимо, это и есть "классическое" решение. А каково формальное определение эйлеровой характеристики(для многообразия)?

А их полно.
1. Альтернированная сумма рациональных чисел Бетти многообразия.
2. Альтернированная сумма размерностей групп образующих в CW-разбиении многообразия (обобщение известной формулы для графов, Вершины-Ребра+Грани)
3. Как раз-таки сумма индексов особых точек векторного поля общего положения
4. Индекс самопересечения многообразия
5. Альт. сумма морсовских индексов особых точек морсовской функции
Эквивалентность всего этого доказывается довольно просто. Можно почитать ДНФ, там про это много и хорошо написано (во второй части книги). Только про числа Бетти там, кажется, нет.

В некотором смысде это действительно "классическое" решение. Попробуй, например, обобщить свое на сферу с пятью ручками!
Вообще топология -- очень интересная наука. И теоретику, кстати, очень нужная.