Вопросы по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
(1-й семестр, 2005-2006 учебный год)

1.    Понятие комплексного числа; различные формы записи комплексного числа; действия с комплексными числами; формула Муавра; формула Эйлера.
2.    Понятие матрицы; сложение матриц, умножение матрицы на число, линейная зависимость матриц; квадратная матрица, единичная матрица; умножение матриц, транспонирование матрицы.
3.    Понятие определителя; основные свойства определителя, простейшие следствия из основных свойств определителя; определитель транспонированной матрицы; определитель произведения матриц; разложение определителя по столбцу (строке), обратная матрица.
4.    Понятие ранга матрицы; теорема о базисном миноре, простейшие следствия из теоремы о базисном миноре.
5.    Понятие линейного пространства, примеры линейных пространств; линейная зависимость элементов линейного пространства; размерность линейного пространства, базис в линейном пространстве, связь базиса и размерности; координаты элемента линейного пространства, единственность координат, преобразование базиса, преобразование координат элемента линейного пространства; понятие подпространства, теорема о том, что подпространство является линейным пространством, размерность подпространства, понятие линейной оболочки; изоморфизм линейных пространств.
6.    Теорема о том, что ранг матрицы равен размерности линейной оболочки, натянутой на столбцы (строки), основные операции, сохраняющие ранг матрицы; способы вычисления ранга матрицы.
7.    Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); однородная СЛАУ, фундаментальная система решений (ФСР) однородной СЛАУ, общее решение однородной СЛАУ; общее решение произвольной СЛАУ; теорема Кронекера–Капелли; СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей, формулы Крамера; СЛАУ с произвольной матрицей.
8.    Понятие вектора; сложение векторов, умножение вектора на число; аффинные и декартовы координаты на плоскости и в трехмерном пространстве; полярные координаты на плоскости, цилиндрические и сферические координаты в трехмерном пространстве; проекция вектора на ось и ее свойства; понятие скалярного произведения, основные свойства скалярного произведения, вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе; понятие правого и левого базиса в трехмерном пространстве; понятие векторного произведения, основные свойства векторного произведения, двойное векторное произведение, вычисление векторного произведения в правом ортонормированном базисе; понятие смешанного произведения, основные свойства смешанного произведения, вычисление смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.
9.    Различные типы уравнений прямой на плоскости, формула для расстояния от точки до прямой, формула для угла между прямыми; различные типы уравнений прямой и плоскости в пространстве, формула для расстояния от точки до плоскости, формулы для углов между прямыми, между плоскостями, между плоскостью и прямой.
10.    Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их свойства; оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы; канонические уравнения поверхностей второго порядка и их свойства.