Астронет > 6.2 Соотношение масса-светимость

Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://www.variable-stars.ru/db/msg/1169513/node40.html

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 6.1 Уравнения звездой структуры | Оглавление | 6.3 Тепловая устойчивость звезд >>

6.2 Соотношение масса-светимость

Вид уравнений позволяет найти ряд соотношений для интегральных характеристик звезд (масса, светимость, радиус), не решая численно систему. Это можно сделать в том случае, когда непрозрачность $\varkappa$ и энерговыделение $\varepsilon$ степенным образом зависят от плотности и температуры. На самом деле эти зависимости различны для различных слоев, и, более того, в некоторых случаях вообще нельзя применять степенную аппроксимацию. Тем не менее для широкого класса ``гладких'' моделей получающиеся соотношения подтверждаются прямым численным расчетом.

В выражениях для непрозрачности будем пользоваться при низких температурах законом Крамерса:

$\displaystyle \varkappa=\varkappa_0\rho T^{-7/2}\;,$

а при высоких -- томсоновском непрозрачностью:

$\displaystyle \varkappa=\varkappa_{\mbox{\sc t}}=0,4\;\mbox{см}^2/\mbox{г}.$

При оценках будем производные заменять на отношения типа:

$\displaystyle {dM\over{dr}}\sim {M\over R}\;,\quad{dP\over{dr}}\sim {P\over R}$ и т. д. $\displaystyle$

Тогда первые три уравнения дают следующие три соотношения:

$\displaystyle {dM_r\over{dr}}=4\pi r^2\rho\to M=R^3\rho_c,$

$\displaystyle {dP\over{dr}}=-{GM_r\over{r^2}}\rho\to P={GM\over R}\rho=GM^{2/3}\rho^{4/3}\;,$

$\displaystyle L_r=-4\pi r^2D{d(aT^4)\over{dr}}\to L\sim R{T^4\over{\varkappa\rho}}\sim RT^{15/2} \rho^{-2}.$

При таких оценках численные коэффициенты опускаются. Используя первое соотношение, получим для светимости

$\displaystyle L\sim M^{1/3}T^{15/2}\rho^{-7/3},$

а уравнение состояния идеального газа $P=\Re\rho T$ дает

$\displaystyle T\sim GM^{2/3}\rho^{1/3}.$

Таким образом,

$\displaystyle L\sim G^{15/2}M^{16/3}\rho^{1/6}.$

Аналогично заменяем уравнение для энергии:

$\displaystyle {dL_r\over{dr}}=4\pi r^2\rho\varepsilon \to L=R^3\rho\varepsilon=M\varepsilon.$

Для энерговыделения имеем выражение (аппроксимирующие точные формулы 5.5):

$\displaystyle \varepsilon=\rho T^{nu}\;,$

где $\nu=4$ при $T\sim 13\cdot 10^6$ K (в случае pp-цикла) и $\nu=15\div 20$ при $T\sim 20\cdot 10^6$ K (CNO-цикл). Дальше ограничимся случаем pp-цикла ( $\nu=4$ ). Тогда

$\displaystyle L\sim M\;\rho\;T^4\sim G^4M^{11/3}\rho^{7/3}.$

Исключая плотность из двух выражений для

окончательно получим

$\displaystyle L\sim G^{7,8}M^{5,5}\;,$

$\displaystyle R\sim M^{0,07}\;,$

$\displaystyle T_{\mbox{эф}}\sim M^{1,3}.$

Отметим, что численные расчеты дают $L\sim M^4$ (для звезд с массой порядка 1 $M_{\odot}$ ). Следует обратить внимание на сильную зависимость светимости от постоянной тяготения $L\sim G^{7,8}$ . Из геологии известно, что светимость Солнца не менялась, по крайней мере на протяжении последних трех миллиардов лет. Это говорит о том, что постоянная тяготения не могла сильно меняться с возрастом Вселенной.

В случае томсоновской непрозрачности (высокие температуры)

$\displaystyle \varkappa=\varkappa_{\mbox{\sc t}},$

$\displaystyle L\sim RT^4\rho^{-1}\varkappa^{-1}\sim M^{1/3}T^4\rho^{-4/3}\sim M^{1/3}(T/ \rho^{1/3})^4\sim G^4M^{3}, %% *** check in the book 11/3$

т. е. энергоотвод не зависит от $\rho$ . Для энерговыделения при больших температурах имеем

$\displaystyle L=M\rho T^{15}$ (CNO-цикл), $\displaystyle$

что дает

$\displaystyle \rho\sim M^{-4/3}G^{-11/6},$

$\displaystyle R\sim M^{7/9}.$

Приведем таблицу 3, полученную путем численных расчетов для верхней части главной последовательности ( $M>M_\odot,\;Z=0,02$ ).

Таблица 3.
Модели звезд главной последовательности

$M/M_\odot$	2,5	5	10
$L/L_\odot$	20	300	3000
$R/R_\odot$	1,6	2,4	3,6
$\rho_c\,[$ г см $^{-3}]$	48	20	8

<< 6.1 Уравнения звездой структуры | Оглавление | 6.3 Тепловая устойчивость звезд >>