Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://www.variable-stars.ru/db/msg/1169513/node5.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 1.1 Энергия взаимодействия ... | Оглавление | 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>

1.2 Векторное поле ускорений, теорема Гаусса, гравитационный потенциал, уравнение Пуассона

Введем понятие векторного поля ускорений $ \vec a$, создаваемых гравитирующими телами. Одна точечная масса $ m$ создает поле ускорений :

$\displaystyle \vec a=-{\vec r \over r}{Gm \over r^2} \; . $

Окружим массу $ m$ произвольной замкнутой поверхностью (рис.1) и вычислим поток поля $ \vec a$ через поверхность $ S$ :

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\;$ $\displaystyle \vec {dS} =\int\limits_S a \;\cos\;\theta\;dS=-\int\limits_S {Gm \over r^2}\;\cos\;\theta\;dS= \cr$ $\displaystyle -\int\limits_S {Gm \; \cos\;\theta\;r^2 \over r^2\cos\;\theta}d \Omega=-4 \pi Gm\,. \cr$  

Здесь $ \theta$ -- угол между $ \vec a$ и нормалью к поверхности $ S$. Важно отметить, что полный поток оказался независящим от формы поверхности.

Если имеется несколько масс $ m_1,\; m_2, \;m_3,\; ...\,,$ то поле $ \vec a$ является суперпозицией полей $ \vec a_1,\;\vec a_2,\; ...,$ создаваемых этими массами

$\displaystyle \vec a=\vec a_1+\vec a_2+\vec a_3+\; \ldots $

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f01.ai}} \end{wrapfigure}
Рис. 1.

Используя это свойство гравитационного поля и окружая поверхностью $ S$ несколько масс, легко получить

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\; \vec {dS} =-4 \pi GM, $

где $ M=m_1+m_2+m_3+...\;.$

Можно убедиться, что масса, расположенная вне замкнутой поверхности $ S$, не дает вклада в $ \int\limits_S \vec a\; \vec {dS}$.

Таким образом, полный поток векторного поля $ \vec a$ равен

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\; \vec {dS}=-4 \pi G(m_1+m_2+m_3+\;.\;.\;.), $

причем в сумму входят только те массы, которые лежат внутри $ S$. Это положение называется теоремой Гаусса.

Применим теорему Гаусса к сферическому слою. Пусть $ S$ -- сфера радиуса $ r$, лежащая внутри этого слоя. Тогда $ 4 \pi r^2\cdot a=0$, т.к. внутри $ S$ нет масс. Следовательно, внутри сферического слоя1.1$ \; a=0$. Окружим теперь сферически-симметричную конфигурацию массы $ M$ поверхностью $ S$. Тогда $ a \cdot 4 \pi r^2=-4 \pi GM$ и $ a=-GM/r^2$. Итак, сферически-симметричная конфигурация создает поле, эквивалентное полю точечной массы, сосредоточенной в ее центре.

Для малого объема $ V$ можно написать

$\displaystyle {1 \over V} \int \vec a\; \vec {dS}=-{4 \pi Gm \over V} \; , $

где интеграл берется по поверхности объема $ V$, а $ m$ -- масса, заключенная в этом объеме. В пределе при $ V\to0$ отношение $ m/V$ есть локальная плотность $ \rho $, так что получим

$\displaystyle \mathop{\rm div}\; \vec a =-4 \pi G \, \rho. $

Cделаем следующий шаг -- введем потенциал гравитационного поля согласно условию:

$\displaystyle \vec a=-\mathop{\rm grad}\, \varphi. $

Это всегда можно сделать, так как гравитационное поле консервативно: всегда $ \oint \vec a\; \vec {dl} $=0, т.е. $ \mathop{\rm rot}\vec a =0$, а это и означает возможность введения потенциала. Теперь имеем

$\displaystyle \mathop{\rm div}\, \vec a =-\mathop{\rm div}\,\mathop{\rm grad}\, \varphi=- \Delta \varphi=-4 \pi G \, \rho, $

или

$\displaystyle \Delta \varphi=4 \pi G \; \rho. $

Мы получили уравнение Пуассона -- основное уравнение теории потенциала. Дифференциальный оператор $ \mathop{\rm div}\mathop{\rm grad}\equiv \Delta $ называют лапласианом. В декартовых координатах

$\displaystyle \Delta \varphi= {\partial^2 \varphi \over \partial x^2}+ {\partial^2 \varphi \over \partial y^2}+{\partial^2 \varphi \over \partial z^2} \; . $

В сферических координатах ( $ r, \; \theta ,\; \alpha $)

$\displaystyle \Delta \varphi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}r^2{\parti... ...1 \over r^2 \sin^2 \;\theta} {\partial^2 \varphi \over \partial \alpha ^2} \;. $

Нетрудно понять, откуда берется такой вид для $ \Delta$. Рассмотрим член $ {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$, который остается в уравнении Пуассона для сферически-симметричной задачи. Очевидно, что $ 4 \pi r^2 \partial\varphi\over\partial r$ -- это поток поля ускорений $ \vec a={\partial\varphi \over\partial r}$ через сферу радиуса $ r$. Разность потоков $ \vec a$ через сферы $ r$ и $ r+ \delta r$ равна $ 4 \pi\delta r {\partial \over \partial r}r^2{\partial \varphi\over\partial r}$ , объем между сферами -- $ 4 \pi r^2\delta r$. Разделив разность потоков $ \vec a$ на объем, получаем $ \Delta \varphi={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$. Ясно, что в задаче с цилиндрической симметрией из тех же соображений получим $ \Delta \varphi={1 \over r}{\partial \over \partial r}r{\partial\varphi\over\partial r}$ ($ r$ -- цилиндрический радиус).

Итак, для сферически-симметричного распределения плотности

$\displaystyle {1\over r^2}{d\over dr}r^2 {d\varphi \over dr}=4 \pi G \rho.$ (1.1)


<< 1.1 Энергия взаимодействия ... | Оглавление | 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования