Астронет: А. С. Расторгуев/ГАИШ Определение кривой вращения и шкалы расстояний в Галактике http://www.astronet.ru/db/msg/1172553/node7.html

Определение кривой вращения и шкалы расстояний в Галактике

---

<< 5. Основные формулы метода | Оглавление | 7. Распределение остаточных скоростей >>

6. Наблюдаемый тензор ковариации

Теперь найдем явное выражение для тензора ковариации распределения остаточной скорости звезды . При этом будем считать, что случайные ошибки лучевых скоростей и собственных движений не коррелируют со случайной ошибкой в расстоянии (и, следовательно, c ) и с компонентами истинной остаточной скорости (допуская при этом возможность корреляции ошибок и , что обычно указывается в каталогах, например, HIPPARCOS [7]).

Известно, что тензор ковариации вектора-столбца определяется как матрица

где - символ транспонирования, а треугольные скобки обозначают усреднение по всем допустимым значениям вектора . Если , где - матрица преобразования, то, как легко показать,

По этому правилу преобразуется тензор ковариации при переходе от одной системы координат к другой. Воспользовавшись этим соотношением, найдем тензор ковариации для истинной остаточной скорости звезды относительно центроида . Пусть в главных осях эллипсоида скоростей он равен

где - величины главных осей. Поскольку переход от главных осей к локальной системе координат задается матрицей (2), то

При вычислении наблюдаемого тензора ковариации усреднение всех перекрестных произведений четырех членов последней строки уравнения (13) приводит, как легко понять, к нулевому результату, поскольку хотя бы одна из трех величин: вариация , случайный вектор или компоненты вектора ошибок скорости войдут в эти произведения линейно, а их математические ожидания равны нулю. Поэтому наблюдаемый тензор ковариации можно записать в виде суммы

где тензор ошибок скорости равен

а , и - среднеквадратичные ошибки лучевой скорости и собственных движений. Второй член суммы включает тензор "космической" дисперсии и равен

И, наконец, вносящий наименьший вклад третий член суммы пропорционален квадрату ошибки шкалы расстояний; он включает систематическую скорость и ее производную и тензор "космической" дисперсии (см. также п. 2):

При вычислении компонентов тензора ковариации (16)-(18) для конкретной звезды следует помнить, что входящее в эти выражения исправленное расстояние связано с принятым (т.е. известным нам) расстоянием и поправкой шкалы соотношением , поэтому в конечном счете тензор ковариации (15) будет зависеть только от . Параметр точности шкалы абсолютных величин должен быть задан дополнительно. К счастью, из-за малости вклада (18) в наблюдаемый тензор ковариаций (15) точное знание необязательно.

---

<< 5. Основные формулы метода | Оглавление | 7. Распределение остаточных скоростей >>