Астронет > Сферическая астрономия

Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node86.html

<< A.2 Линейная алгебра | Оглавление | A.4 Элементы дифференциального и >>

A.3 Декартовы прямоугольные и сферические координаты вектора

Если базисные векторы или орты ${\mathbf{i}},{\mathbf{j}}, {\mathbf{k}}$ взаимно перпендикулярны и определяют оси системы координат $Ox, Oy, Oz$ , то разложение

$\displaystyle {\mathbf{u}} = u_x{\mathbf{i}}+u_y{\mathbf{j}}+ u_z{\mathbf{e}}$

определяет декартовы прямоугольные координаты $u_x,u_y,u_z$ вектора ${\mathbf{u}}$ .

Базисными векторами сферической системы координат является тройка единичных векторов ${\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$ , направленных в сторону увеличения соответствующих координат: $r$ -- расстояния, $\theta$ -- кошироты, $\lambda$ -- долготы. Разложение вектора ${\mathbf{u}}$ по базису имеет вид:

$\displaystyle {\mathbf{u}}=u_r{\mathbf{i}}_r+u_\theta{\mathbf{i}}_\theta+ u_\lambda{\mathbf{i}}_\lambda,$

$u_r,u_\theta,u_\lambda$ компоненты вектора ${\mathbf{u}}$ в базисе ${\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$ .

Декартовы координаты вектора ${\mathbf{u}}=(u_x,u_y,u_z)$ выражаются через сферические координаты $(r,\theta,\lambda)$ следующим образом:

$\displaystyle {\mathbf{u}}= \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\lambda \\ r\sin\theta\sin\lambda \\ r\cos\theta \end{pmatrix},$

$r=\vert{\mathbf{u}}\vert$ .

Единичные векторы ${\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$ в декартовых координатах имеют вид:

$\displaystyle {\mathbf{i}}_r=\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{r}}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\lambda \\ \sin\theta\sin\lambda \\ \cos\theta \end{pmatrix}, \quad {\mathbf{i}}_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{\theta}}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\lambda \\ \cos\theta\sin\lambda \\ -\sin\theta \end{pmatrix}, \quad {\mathbf{i}}_\lambda=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{\lambda}}= \begin{pmatrix} -\sin\lambda \\ \cos\lambda \\ 0 \end{pmatrix}.$

Преобразование между компонентами вектора в декартовом и сферическом базисе имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} u_r \\ u_\theta \\ u_\lambda \end{pmatrix}; \quad \textrm{где}\ M = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\lambda & \cos\theta\cos\lambda & -\sin\lambda\\ \sin\theta\sin\lambda & \cos\theta\sin\lambda & \cos\lambda\\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \end{pmatrix}.$

Обратное преобразование имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix} u_r \\ u_\theta \\ u_\lambda \end{pmatrix} = M^T \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}.$

<< A.2 Линейная алгебра | Оглавление | A.4 Элементы дифференциального и >>