Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Размерности и подобие астрофизических величин << § 2.1 Определяющие параметры гравитации | Оглавление | § 2.3 Характерные параметры твердых планет >>

§ 2.2 Взаимодействие электромагнитного излучения и вещества

Исследование взаимодействия излучения и вещества представляет собой одну из центральных проблем астрофизики.

Во-первых, почти вся получаемая нами информация о физических свойствах небесных тел содержится в их излучении.

Во-вторых, сами свойства этих тел, их структура и динамика определяются наряду с гравитацией также и трансформацией лучистой энергии в этих телах. Возможность конденсации космической среды в более плотные объекты - звезды, сама структура звезды и ее эволюция, строение и особенности поведения межзвездного газа - все это в той или иной мере зависит от переноса лучистой энергии в веществе. Законы излучения, и в частности, соотношения, описывающие взаимодействие электромагнитного излучения и вещества, хорошо известны; во многих случаях имеются точные формулы, широко используемые в астрофизике. Казалось бы, что методы анализа размерностей здесь не нужны, разве только для проверки правильности написания формул.

Однако, как мы сейчас увидим, размерностный анализ позволяет как бы по-новому взглянуть на уже известные формулы, лучше понять их физический смысл. А главное для астрофизики это то, что размерностный анализ позволяет упростить основные соотношения, когда излишнее уточнение только затемняет физику явления. В этом параграфе мы проведем анализ ряда основных формул, знакомых каждому астрофизику, и получим соотношения, которые нам понадобятся в дальнейшем для анализа методом размерностей других задач.

Начнем с хорошо известной формулы Планка для интенсивности термодинамически равновесного излучения

$$
I_\nu = B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1},
$$ (2.32)

где частота &nu = &omega/2&pi и постоянная Планка h = 2&piħ.

Зная размерности величин, входящих в формулу (2.32), можно построить матрицу размерности:

$$
\begin{matrix}
\, & [h] & [\nu] & [c] & [I_\nu]&[k]&[T] \\
\mbox{г}&1&0&0&1&1&0 \\
\mbox{см}&2&0&1&0&2&0 \\
\mbox{сек}&-1&-1&-1&-2&-2&0 \\
\mbox{град}&0&0&0&0&-1&1
\end{matrix}
$$

У нас шесть параметров при четырех первичных величинах, так что согласно П-теореме должно быть два безразмерных комплекса. Два из показателей степеней можно выбрать произвольно; полагая показатель при I&nu равным единице, а показатель при постоянной Планка - нулю, получим первый безразмерный комплекс

$$
\Pi_1 = c^2I_\nu k^{-1}T^{-1}\nu^{-2},
$$ (2.33)

Для нахождения второго комплекса примем показатель при I&nu равным нулю, а показатель при постоянной Планка - единице. Получим

$$
\Pi_2 = h\nu k^{-1}T^{-1}.
$$ (2.34)

Тогда формула Планка запишется в виде зависимости безразмерного комплекса П1 от комплекса П2:

$$
f(\Pi_1,\Pi_2) = \Pi_1 - \frac{2\Pi_2}{e^{\Pi_2}-1}=0.
$$ (2.35)

Конкретный вид функции &fnof(П1, П2) определен не методом размерностей, однако даже суждение об аргументах функций, получаемых посредством размерностной процедуры, часто оказывается достаточным для многих целей. В том случае, когда один из безразмерных комплексов мал (например, в радиодиапазоие П2 << 1), из условия &fnof(П1, П2) = 0 следует, что П1 = const, а из явного вида этой функции получаем, что П1 = 2. Отсюда имеем закон Рэлея - Джинса:

$$
I_\nu = \frac{2\nu^2}{c^2}kT,
$$ (2.36)

который, кстати, первоначально и был получен из соображений размерности. Если П2 не мало, то, разумеется, однозначной формулы из одних соображений размерности не получить.

При произвольных значениях П1 и П2 эти комплексы могут служить критерием подобия. Известно, что спектральные кривые распределения энергии имеют максимум. Критерий подобия означает, что максимумы излучения при разных температурах соответствуют одним и тем же значениям безразмерных комплексов, а именно П2 = 2,82, П1 = 0,35. Это есть известный закон смещения Вина:

$$
\lambda_m = \frac{c}{\nu_m} = \frac{1}{\Pi_2}\frac{hc}{kT} = \frac{0,29}{T}\mbox{см},
$$ (2.37)

если температура выражена в градусах. В (2.37) и последующих формулах интенсивность излучения отнесена к единичному интервалу частот - весь анализ нетрудно провести и в случае, когда спектральная интенсивность отнесена к единичному интервалу длин волн. В этом случае изменится определение безразмерного комплекса П1 но функция &fnof(П1, П2) будет иметь прежний вид. Несколько сместится и положение максимума в законе Вина (2.37).

Другое хорошо известное в астрофизике соотношение - формула Саха - определяет степень ионизации. Если через ns, ne и n1 обозначить концентрацию атомов, электронов и ионов данного элемента, то формула Саха записывается в виде

$$
\frac{n_in_e}{n_a} = 2\frac{g_i}{g_a}\frac{(2\pi m_ekT)^{3/2}}{h^3}e^{-\frac{\chi}{kT}}.
$$ (2.38)

Здесь &chi - потенциал ионизации, ga и gi - статистические веса атома и иона. Ограничимся случаем водорода и примем в дальнейшем ga = gi = 2 (для основного состояния).

Чтобы записать уравнение Саха с помощью безразмерных комплексов, вспомним определение дебройлевской длины волны электрона &lambda = h/mev, где v - его скорость. У тепловых электронов скорость пропорциональна (kT/me)½ и поэтому для них

$$
\lambda_h = \frac{h}{\sqrt{2\pi m_ekT}}.
$$ (2.39)

Теперь определим следующие безразмерные комплексы:

$\Pi_1 = \frac{n_i}{n_a}$ - отношение концентрации ионов к концентрации атомов;

$\Pi_2 = \frac{\chi_H}{kT}$ - отношение энергии ионизации к тепловой энергии частиц;

$\frac{1}{\Pi_3} = n_e\lambda_h^3$ - количество электронов в ячейке пространства с размером, равным дебройлевской длине волны.

Очевидно, что комплекс П3 характеризует количество электронов, способных оказаться вблизи атома или иона и участвовать в процессах ионизации и рекомбинации.

С определенными выше безразмерными комплексами формула Саха записывается в очень простом виде:

$$
\Pi_1 = 2\Pi_3e^{-\Pi_2}.
$$ (2.40)

Можно привести и другие примеры записи хорошо известных астрофизических формул в виде соотношений между безразмерными комплексами.

Теперь перейдем к параметрам, описывающим взаимодействие излучения с веществом и необходимым нам для дальнейшего изложения - в первую очередь к определению коэффициентов поглощения и непрозрачности.

Если отнести коэффициент поглощения или рассеяния к одному атому, иону или электрону, то такую величину принято называть эффективным сечением и обозначать буквой &sigma&nu. Ее размерность

$$
[\sigma_\nu] = \mbox{см}^2.
$$ (2.41)

Умножив эффективное сечение на число поглощающих или рассеивающих частиц в единице объема, получим коэффициент поглощения k&nu, рассчитанный на единицу длины. Поэтому его размерность

$$
[k_\nu] = \frac{1}{\mbox{см}}.
$$ (2.42)

И наконец, относя коэффициент поглощения к единице плотности, получим величину коэффициента непрозрачности $\varkappa$ с размерностью

$$
[\varkappa_\nu] = \frac{\mbox{см}^2}{\mbox{г}}.
$$ (2.43)

Строго говоря, переход от (2.41) к (2.42) и (2.43) не сводится к простому умножению на концентрацию или делению на плотность. Операция перехода проводится с усреднением по функции распределения частиц и по спектру. В астрофизических учебниках эти операции подробно обсуждаются (см. [3, 4]). Здесь мы только приведем готовые формулы и обсудим их с точки зрения размерностей.

Непрозрачность вещества включает в себя и чистое рассеяние и поглощение. Его часто называют экстинкцией. Но в нашей литературе укоренился термин поглощение, которым мы и будем пользоваться.

Простейшим механизмом взаимодействия излучения и вещества является томсоновское рассеяние света на свободных электронах. Здесь эффективное сечение не зависит от частоты:

$$
\sigma_\nu^T=\frac{8\pi}{3}r_0^2 = \frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{m_ec^2}\right)^2 = \frac{8\pi}{3}\alpha^2\lambda_K^2.
$$ (2.44)

Определение входящих сюда величин дано в § 5 гл. 1. Выражение $\sigma_\nu^T$ через комптоновскую длину волны &lambdaK и постоянную тонкой структуры а нам понадобится для сравнения с другими механизмами.

Коэффициент непрозрачности при томсоновском рассеянии равен

$$
\varkappa_\nu^T = \frac{8\pi}{3}\frac{\alpha^2\lambda_K^2}{m_p\mu_e} = \frac{8\pi}{3}\frac{e^4}{m_e^2m_pc^4},
$$ (2.45)

где &muK - молекулярный вес, приходящийся на один свободный электрон. Существенно, что выражение (2.45) постоянно и за исключением множителя ц.е зависит только от мировых констант.

Следующий "по сложности" механизм - поглощение или рассеяние электромагнитных волн при переходах электрона между дискретными состояниями атомов или ионов. Обозначим через v0 частоту перехода.

В этом механизме эффективное сечение существенно зависит от частоты. Оно достигает максимума на частоте перехода и быстро спадает в обе стороны с ростом разности |&nu - &nu0|, где &nu - частота рассеиваемой или поглощаемой волны. Формула для эффективного сечения:

$$
\sigma_\nu = \frac{2\pi}{3}\frac{r^2_0 \nu_0^2 f}{(\nu - \nu_0)^2 + \left(\frac{\gamma}{4\pi}\right)^2},
$$ (2.46)

где &fnof есть сила осциллятора, безразмерный множитель, показывающий, насколько процесс рассеяния при переходах в атоме отличается от такого же перехода в случае рассеяния света классическим осциллятором. Величина

$$
\gamma = \frac{8\pi^2c^2\nu_0^2}{3m_ec^3} = \frac{8\pi^2}{3}\frac{r_0\nu_0^2}{c} << \nu_0
$$ (2.47)

есть так называемая естественная ширина линии. Максимум эффективного сечения в центре линии (&nu = &nu0) очень велик:

$$
\sigma_\nu^{max} = \frac{3f}{2\pi}\frac{c^2}{\nu_0^2} = \frac{3f}{2\pi}\lambda_0^2,
$$ (2.48)

но быстро спадает при |&nu - &nu0| >> &gamma . При |&nu - &nu0|, сравнимым с &nu0, эффективное сечение (2.46) даст примерно столько же, сколько томсоновекое сечение. В целом рассеяние в спектральных линиях может дать заметный вклад в полный коэффициент непрозрачности среды, но общий порядок величины можно оценить по тому же томсоновскому сечению.

Формулы (2.44), (2.48) и другие последующие формулы наглядно показывают, что эффективное сечение должно представлять собой произведение двух параметров с размерностью длины. В случае (2.44) это было r0, в случае (2.48) мы получили &lambda0 - длину волны, в остальных случаях будут встречаться и другие комбинации.

Существенно больший вклад в коэффициент поглощения вносят переходы из связанного состояния в свободное, т. е. ионизация атомов и ионов. Запишем эффективное сечение для поглощения с первого уровня атома водорода:

$$
\sigma_\nu^{(1)} = \frac{64\pi}{3\sqrt3}a_0\lambda_K\left(\frac{\nu_1}{\nu}\right)^3 g(\nu) = \frac{64\pi}{3\sqrt3}\frac{r^2_0}{\alpha^3}\left(\frac{\nu_1}{\nu}\right)^3 g(\nu), $$ (2.49)

где &nu1=&chiH/h - частота порога ионизации, g(&nu) - очень медленно меняющаяся безразмерная функция частоты. Вблизи порога при &nu = &nu1 g(&nu1)=0,80, а среднее значение этой величины по спектру примерно равно 0,89. Формулы, аналогичные (2.49), получаются и для других уровней как атома водорода, так и других атомов. Здесь меняется численный коэффициент и, вообще говоря, оказывается более сложная зависимость от частоты.

Эффективное сечение (2.49) в максимуме при &nu = &nu1 очень велико. Сравнивая (2.49) с томеоновеким сечением (2.47), получим

$$
\frac{\sigma_\nu^{max}}{\sigma_\nu^T} = \frac{8}{\sqrt 3}\frac{1}{\alpha^3} = 1,2 \cdot 10^6,
$$ (2.50)

но при усреднении по частотам это различие, естественно, заметно уменьшается. Процедура усреднения зависит от многих условий, в частности, от (распределения энергии в спектре поглощаемого излучения, от распределения атомов по состояниям и т. д. Отсылая читателя за подробностями к литературе [3, 4], приведем здесь окончательную размерностную формулу, т. е. без численных множителей порядка единицы, для среднего эффективного сечения этих так называемых свободно-связанных переходов. Имеем для сечения, отнесенного к одному атому:

$$
\bar\sigma \sim \alpha r_T^2\frac{\chi_H}{kT}e^{-\frac{\chi_H}{kT}}.
$$ (2.51)

При усреднении принято, что распределение энергии в спектре излучения описывается формулой Планка, а распределение по состояниям - уравнением Больцмана.

Величину rT с размерностью длины

$$
r_T = \frac{e^2}{kT}.
$$ (2.52)

можно было бы назвать "тепловым радиусом электрона", по аналогии с классическим радиусом электрона r0 = e2/mec2. Очевидно, что чем больше температура, тем (быстрее движутся электроны и тем меньше вероятность их взаимодействия с атомами.

Следующий важный механизм взаимодействия излучения и вещества - это поглощение в непрерывном спектре при так называемых свободно-свободных переходах. Поглощение происходит при переходе электрона с одной гиперболической орбиты на другую при пролете его мимо положительно заряженного электрона.

Среднее эффективное сечение этого процесса, уже усредненное по максвелловской функции распределения скоростей электронов и по планковскому спектру излучения и отнесенное к одному иону, имеет вид:

$$
\bar\sigma^{ff} \sim \alpha r_T^2 n_e\lambda_h^3 = \alpha^3\left(\frac{\hbar c}{kT}\right)^2\lambda_h^3 n_e.
$$ (2.53)

Учитывая уравнение Саха, можно убедиться, что при высоких температурах (Т &ge 3 &sdot 105 град) свободно-свободные переходы оказываются определяющими.

Переходя от $\bar\sigma^{ff}$ к коэффициенту непрозрачности

$$
\varkappa = const \cdot \frac{\alpha^3 n_e \lambda_h^3}{\mu_e m_p}\left(\frac{\hbar c}{kT}\right)^2 ,
$$

получим хорошо известную формулу Крамерса, которую обычно записывают в виде

$$
\varkappa = \varkappa_0 \rho T^{-\frac{7}{2}},
$$ (2.54)

где размерный коэффициент $\varkappa_0$ пропорционален следующему набору фундаментальных постоянных:

$$
\varkappa _0 \sim \left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)^3 \left(\frac{\hbar^2}{m_e k}\right)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{\hbar c}{m_p k}\right)^2 = \frac{e^6\hbar^2}{cm_e^{\frac{3}{2}}m_p^2 k^{\frac{7}{2}}},
$$ (2.55)

Его размерность

$$
[\varkappa_0] = \frac{\mbox{см}^5 \cdot \mbox{град}^{7/2}}{\mbox{г}^2} .
$$ (2.56)

Кроме фундаментальных атомных постоянных в k0 входят безразмерные множители, зависящие от состояния ионизации вещества и его химического состава. Поскольку ионизация вещества меняется с температурой и плотностью, то величину коэффициента непрозрачности в настоящее время чаще всего уже не описывают простой формулой Крамерса, а задают в табличном виде. Однако для применения метода анализа размерностей нам все же будут нужны аналитические формулы. Подробнее, вопрос о коэффициенте (непрозрачности в недрах звезд - мы обсудим в гл. 5. Там же будут даны и соответствующие аппроксимационные формулы.

На низких частотах, например, в радиодиапазоне, также преобладает поглощение при свободно-