Размерности и подобие астрофизических величин << § 2.1 Определяющие параметры гравитации | Оглавление | § 2.3 Характерные параметры твердых планет >>
§ 2.2 Взаимодействие электромагнитного излучения и вещества
Исследование взаимодействия излучения и вещества представляет собой одну из центральных проблем астрофизики.
Во-первых, почти вся получаемая нами информация о физических свойствах небесных тел содержится в их излучении.
Во-вторых, сами свойства этих тел, их структура и динамика определяются наряду с гравитацией также и трансформацией лучистой энергии в этих телах. Возможность конденсации космической среды в более плотные объекты - звезды, сама структура звезды и ее эволюция, строение и особенности поведения межзвездного газа - все это в той или иной мере зависит от переноса лучистой энергии в веществе. Законы излучения, и в частности, соотношения, описывающие взаимодействие электромагнитного излучения и вещества, хорошо известны; во многих случаях имеются точные формулы, широко используемые в астрофизике. Казалось бы, что методы анализа размерностей здесь не нужны, разве только для проверки правильности написания формул.
Однако, как мы сейчас увидим, размерностный анализ позволяет как бы по-новому взглянуть на уже известные формулы, лучше понять их физический смысл. А главное для астрофизики это то, что размерностный анализ позволяет упростить основные соотношения, когда излишнее уточнение только затемняет физику явления. В этом параграфе мы проведем анализ ряда основных формул, знакомых каждому астрофизику, и получим соотношения, которые нам понадобятся в дальнейшем для анализа методом размерностей других задач.
Начнем с хорошо известной формулы Планка для интенсивности термодинамически равновесного излучения
(2.32) |
где частота &nu = &omega/2&pi и постоянная Планка h = 2&piħ.
Зная размерности величин, входящих в формулу (2.32), можно построить матрицу размерности:
У нас шесть параметров при четырех первичных величинах, так что согласно П-теореме должно быть два безразмерных комплекса. Два из показателей степеней можно выбрать произвольно; полагая показатель при I&nu равным единице, а показатель при постоянной Планка - нулю, получим первый безразмерный комплекс
(2.33) |
Для нахождения второго комплекса примем показатель при I&nu равным нулю, а показатель при постоянной Планка - единице. Получим
(2.34) |
Тогда формула Планка запишется в виде зависимости безразмерного комплекса П1 от комплекса П2:
(2.35) |
Конкретный вид функции &fnof(П1, П2) определен не методом размерностей, однако даже суждение об аргументах функций, получаемых посредством размерностной процедуры, часто оказывается достаточным для многих целей. В том случае, когда один из безразмерных комплексов мал (например, в радиодиапазоие П2 << 1), из условия &fnof(П1, П2) = 0 следует, что П1 = const, а из явного вида этой функции получаем, что П1 = 2. Отсюда имеем закон Рэлея - Джинса:
(2.36) |
который, кстати, первоначально и был получен из соображений размерности. Если П2 не мало, то, разумеется, однозначной формулы из одних соображений размерности не получить.
При произвольных значениях П1 и П2 эти комплексы могут служить критерием подобия. Известно, что спектральные кривые распределения энергии имеют максимум. Критерий подобия означает, что максимумы излучения при разных температурах соответствуют одним и тем же значениям безразмерных комплексов, а именно П2 = 2,82, П1 = 0,35. Это есть известный закон смещения Вина:
(2.37) |
если температура выражена в градусах. В (2.37) и последующих формулах интенсивность излучения отнесена к единичному интервалу частот - весь анализ нетрудно провести и в случае, когда спектральная интенсивность отнесена к единичному интервалу длин волн. В этом случае изменится определение безразмерного комплекса П1 но функция &fnof(П1, П2) будет иметь прежний вид. Несколько сместится и положение максимума в законе Вина (2.37).
Другое хорошо известное в астрофизике соотношение - формула Саха - определяет степень ионизации. Если через ns, ne и n1 обозначить концентрацию атомов, электронов и ионов данного элемента, то формула Саха записывается в виде
(2.38) |
Здесь &chi - потенциал ионизации, ga и gi - статистические веса атома и иона. Ограничимся случаем водорода и примем в дальнейшем ga = gi = 2 (для основного состояния).
Чтобы записать уравнение Саха с помощью безразмерных комплексов, вспомним определение дебройлевской длины волны электрона &lambda = h/mev, где v - его скорость. У тепловых электронов скорость пропорциональна (kT/me)½ и поэтому для них
(2.39) |
Теперь определим следующие безразмерные комплексы:
- отношение концентрации ионов к концентрации атомов;
- отношение энергии ионизации к тепловой энергии частиц;
- количество электронов в ячейке пространства с размером, равным дебройлевской длине волны.
Очевидно, что комплекс П3 характеризует количество электронов, способных оказаться вблизи атома или иона и участвовать в процессах ионизации и рекомбинации.
С определенными выше безразмерными комплексами формула Саха записывается в очень простом виде:
(2.40) |
Можно привести и другие примеры записи хорошо известных астрофизических формул в виде соотношений между безразмерными комплексами.
Теперь перейдем к параметрам, описывающим взаимодействие излучения с веществом и необходимым нам для дальнейшего изложения - в первую очередь к определению коэффициентов поглощения и непрозрачности.
Если отнести коэффициент поглощения или рассеяния к одному атому, иону или электрону, то такую величину принято называть эффективным сечением и обозначать буквой &sigma&nu. Ее размерность
(2.41) |
Умножив эффективное сечение на число поглощающих или рассеивающих частиц в единице объема, получим коэффициент поглощения k&nu, рассчитанный на единицу длины. Поэтому его размерность
(2.42) |
И наконец, относя коэффициент поглощения к единице плотности, получим величину коэффициента непрозрачности с размерностью
(2.43) |
Строго говоря, переход от (2.41) к (2.42) и (2.43) не сводится к простому умножению на концентрацию или делению на плотность. Операция перехода проводится с усреднением по функции распределения частиц и по спектру. В астрофизических учебниках эти операции подробно обсуждаются (см. [3, 4]). Здесь мы только приведем готовые формулы и обсудим их с точки зрения размерностей.
Непрозрачность вещества включает в себя и чистое рассеяние и поглощение. Его часто называют экстинкцией. Но в нашей литературе укоренился термин поглощение, которым мы и будем пользоваться.
Простейшим механизмом взаимодействия излучения и вещества является томсоновское рассеяние света на свободных электронах. Здесь эффективное сечение не зависит от частоты:
(2.44) |
Определение входящих сюда величин дано в § 5 гл. 1. Выражение через комптоновскую длину волны &lambdaK и постоянную тонкой структуры а нам понадобится для сравнения с другими механизмами.
Коэффициент непрозрачности при томсоновском рассеянии равен
(2.45) |
где &muK - молекулярный вес, приходящийся на один свободный электрон. Существенно, что выражение (2.45) постоянно и за исключением множителя ц.е зависит только от мировых констант.
Следующий "по сложности" механизм - поглощение или рассеяние электромагнитных волн при переходах электрона между дискретными состояниями атомов или ионов. Обозначим через v0 частоту перехода.
В этом механизме эффективное сечение существенно зависит от частоты. Оно достигает максимума на частоте перехода и быстро спадает в обе стороны с ростом разности |&nu - &nu0|, где &nu - частота рассеиваемой или поглощаемой волны. Формула для эффективного сечения:
(2.46) |
где &fnof есть сила осциллятора, безразмерный множитель, показывающий, насколько процесс рассеяния при переходах в атоме отличается от такого же перехода в случае рассеяния света классическим осциллятором. Величина
(2.47) |
есть так называемая естественная ширина линии. Максимум эффективного сечения в центре линии (&nu = &nu0) очень велик:
(2.48) |
но быстро спадает при |&nu - &nu0| >> &gamma . При |&nu - &nu0|, сравнимым с &nu0, эффективное сечение (2.46) даст примерно столько же, сколько томсоновекое сечение. В целом рассеяние в спектральных линиях может дать заметный вклад в полный коэффициент непрозрачности среды, но общий порядок величины можно оценить по тому же томсоновскому сечению.
Формулы (2.44), (2.48) и другие последующие формулы наглядно показывают, что эффективное сечение должно представлять собой произведение двух параметров с размерностью длины. В случае (2.44) это было r0, в случае (2.48) мы получили &lambda0 - длину волны, в остальных случаях будут встречаться и другие комбинации.
Существенно больший вклад в коэффициент поглощения вносят переходы из связанного состояния в свободное, т. е. ионизация атомов и ионов. Запишем эффективное сечение для поглощения с первого уровня атома водорода:
(2.49) |
где &nu1=&chiH/h - частота порога ионизации, g(&nu) - очень медленно меняющаяся безразмерная функция частоты. Вблизи порога при &nu = &nu1 g(&nu1)=0,80, а среднее значение этой величины по спектру примерно равно 0,89. Формулы, аналогичные (2.49), получаются и для других уровней как атома водорода, так и других атомов. Здесь меняется численный коэффициент и, вообще говоря, оказывается более сложная зависимость от частоты.
Эффективное сечение (2.49) в максимуме при &nu = &nu1 очень велико. Сравнивая (2.49) с томеоновеким сечением (2.47), получим
(2.50) |
но при усреднении по частотам это различие, естественно, заметно уменьшается. Процедура усреднения зависит от многих условий, в частности, от (распределения энергии в спектре поглощаемого излучения, от распределения атомов по состояниям и т. д. Отсылая читателя за подробностями к литературе [3, 4], приведем здесь окончательную размерностную формулу, т. е. без численных множителей порядка единицы, для среднего эффективного сечения этих так называемых свободно-связанных переходов. Имеем для сечения, отнесенного к одному атому:
(2.51) |
При усреднении принято, что распределение энергии в спектре излучения описывается формулой Планка, а распределение по состояниям - уравнением Больцмана.
Величину rT с размерностью длины
(2.52) |
можно было бы назвать "тепловым радиусом электрона", по аналогии с классическим радиусом электрона r0 = e2/mec2. Очевидно, что чем больше температура, тем (быстрее движутся электроны и тем меньше вероятность их взаимодействия с атомами.
Следующий важный механизм взаимодействия излучения и вещества - это поглощение в непрерывном спектре при так называемых свободно-свободных переходах. Поглощение происходит при переходе электрона с одной гиперболической орбиты на другую при пролете его мимо положительно заряженного электрона.
Среднее эффективное сечение этого процесса, уже усредненное по максвелловской функции распределения скоростей электронов и по планковскому спектру излучения и отнесенное к одному иону, имеет вид:
(2.53) |
Учитывая уравнение Саха, можно убедиться, что при высоких температурах (Т &ge 3 &sdot 105 град) свободно-свободные переходы оказываются определяющими.
Переходя от к коэффициенту непрозрачности
получим хорошо известную формулу Крамерса, которую обычно записывают в виде
(2.54) |
где размерный коэффициент пропорционален следующему набору фундаментальных постоянных:
(2.55) |
Его размерность
(2.56) |
Кроме фундаментальных атомных постоянных в k0 входят безразмерные множители, зависящие от состояния ионизации вещества и его химического состава. Поскольку ионизация вещества меняется с температурой и плотностью, то величину коэффициента непрозрачности в настоящее время чаще всего уже не описывают простой формулой Крамерса, а задают в табличном виде. Однако для применения метода анализа размерностей нам все же будут нужны аналитические формулы. Подробнее, вопрос о коэффициенте (непрозрачности в недрах звезд - мы обсудим в гл. 5. Там же будут даны и соответствующие аппроксимационные формулы.
На низких частотах, например, в радиодиапазоне, также преобладает поглощение при свободно-