вершины выпуклого четырехугольника
17.01.2001 0:00 |
МЦНМО
На плоскости даны 5 точек,
из которых никакие 3 не лежат на одной прямой.
Докажите, что некоторые 4 из этих точек
являются вершинами выпуклого 4-угогльника
Хочу подсказку
Решение:
Рассмотрим выпуклую оболочку
данных 5 точек.
(Выпуклая оболочка конечного множества точек - наименьший выпуклый
многоугольник, содержащий эти точки. Нетрудно заметить, что вершины
этого
многоугольника всегда являются точками, принадлежащими данному
множеству.)
Имеются 3 возможности:
выпуклая оболочка - пятиугольник, четырехугольник или треугольник.
В первом случае любые 4 из данных 5 точек являются вершинами
выпуклого четырехугольника.
Во втором случае можно взять 4 точки, являющиеся вершинами
выпуклого четырехугольника - выпуклой оболочки данных 5 точек.
Рассмотрим третий случай. Пусть A, B, C - вершины треугольника,
являющегося выпуклой оболочкой данных 5 точек, а M, N - оставшиеся 2
из данных 5 точек.
Точки M и N лежат внутри треугольника ABC.
Прямая MN не пересекает одну из сторон треугольника ABC, скажем,
сторону BC. Тогда легко видеть, что
точки B, C, M, N лежат в вершинах
выпуклого четырехугольника.
Написать комментарий
|
