Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

На первую страницу Размерности и подобие астрофизических величин << § 3.5 Выражение массы и светимости звезд через мировые постоянные | Оглавление | § 4.2 Политропные и конвективные звезды >>

Глава IV. Принцип подобия в численном моделировании стационарных звезд

В настоящей главе мы продолжим анализ свойств звезд уже на основе принципа подобия. Это позволит получить более детальные характеристики, в частности, определить и численные значения безразмерных комплексов.

Разумеется, настоящая глава не претендует на сколько-нибудь полное изложение теории внутреннего строения звезд. Основное внимание уделяется условиям подобия звездных моделей.

Весь анализ структуры и эволюции звезд основан на численном моделировании. Уравнения внутреннего строения звезд относительно просты и поэтому их численное решение было нетрудно получить еще до наступления "эры ЭВМ". Создание быстродействующих ЭВМ дало возможность построить большое число звездных моделей, анализ и сравнение с наблюдениями которых позволили далеко продвинуться в понимании звездной эволюции.

Сопоставление теории с наблюдениями основано на сравнении теоретических зависимостей между основными параметрами звезд (масса М, светимость L, радиус R) и подобными же статистическими данными, полученными на основе наблюдений большого числа звезд. В частности, особое значение имеет статистический анализ групп звезд, связанных общностью происхождения, например, входящих в галактические скопления. Правда, такие сопоставления не всегда достаточно критичны, поскольку теоретические зависимости между М, L и R в некоторых случаях слабо зависят от выбора теоретических моделей. Уже отмечалось, что соотношение масса - светимость почти не зависит от выбора закона выделения энергии. Но тем не менее важно подчеркнуть, что теоретические и наблюдаемые зависимости между М, L и R, как правило, хорошо согласуются между собой.

Есть две более непосредственные наблюдательные проверки теории строения звезд: по движению линии апсид в тесных двойных системах и по нейтринному излучению Солнца. Метод определения степени неоднородности модели (концентрации плотности к центру) по движению линии апсид подробно описан, например, в книге Шварцшильда [1]. Здесь также теория оказалась в хорошем согласии с наблюдениями, но и этот метод сравнения недостаточно критичен. Кроме того, его удалось пока применить к очень небольшому числу звезд только верхней части главной последовательности. Более интересна проверка по нейтринному излучению, хотя она, по крайней мере пока, может быть использована только для анализа моделей Солнца. Измеряя поток нейтрино от Солнца, можно непосредственно судить об условиях в его центральных частях. Как хорошо известно, эксперименты Девиса привели к заметному расхождению теории и наблюдений (последний обзор всей этой проблемы изложен в работах [2, 3]). Пока (1975 г.) не ясно, как удастся преодолеть эту трудность, сохранив наши основные представления о характере и роли различных термоядерных реакций в звездах и об их строении и эволюции. Но мы в дальнейшем будем считать эти представления правильными.

Анализ численных моделей строения звезд дал очень многое и было бы весьма неразумно отказываться от этого большого объема информации только из-за того, что мы не можем преодолеть некоторые трудности.

Развитие теории численного моделирования звезд прошло несколько этапов. На первых порах широко использовался принцип подобия - предполагалось, что звезды с разными значениями основных параметров могут иметь подобное строение, описываемое одними и теми же безразмерными уравнениями с одними и теми же значениями безразмерных комплексов. Такое предположение позволило сразу же получить теоретические зависимости между М, L и R, т. е. именно то, что и подлежит сравнению с наблюдениями в первую очередь.

Однако применение принципа подобия налагает определенные ограничения на соотношения, описывающие физические процессы в недрах звезд. К сожалению, при применении принципа подобия в теории строения и эволюции звезд можно использовать только приближенные формулы, описывающие непрозрачность и мощность выделения энергии. Поэтому по мере развития теории все больше и больше появлялось работ по расчетам конкретных моделей. Иными словами, для каждого заданного значения М, L и R и предположенного химического состава рассчитывалась своя модель. Зависимости между этими параметрами теперь уже определяются на основе анализа совокупности этих моделей. Использование мощных ЭВМ сделало расчет большого числа конкретных моделей не слишком трудоемкой работой. Разумеется, такой анализ большого числа конкретных моделей дает более достоверные данные (в рамках сделанных допущений), чем результаты применения принципа подобия, основанные на упрощенных соотношениях. Тем не менее, а особенно учитывая и некоторую имеющуюся неуверенность в исходных предпосылках, представляет определенный интерес и анализ выводов, основанных на методе подобия. Они более наглядны, получаются более простым путем и позволяют яснее понять, в чем могут заключаться те или иные трудности. Здесь мы дадим обзор результатов, полученных в теории внутреннего строения и эволюции звезд путем применения принципа подобия.

§ 4.1 Основные уравнения теории внутреннего строения звезд

Основные уравнения, описывающие внутреннее строение звезд, приводились многократно в специальных монографиях [1, 4, 5] и учебниках [6, 7]. Качественное изложение физического смысла уравнений излагалось и в научно-популярной литературе (см. [8]). Надо также отметить, что был опубликован ряд сборников [9-11], где эти уравнения также подробно описывались. Здесь мы ограничимся лишь кратким пояснением.

Во-первых, предположим сферическую симметричность звезды. Для большинства звезд это условие выполнено с огромной точностью. Даже быстро вращающиеся звезды почти сферически-симметричны. Более заметны отклонения от сферической симметрии у звезд, входящих в тесные двойные системы. Но это особый случай, поскольку нельзя рассматривать строение одной звезды, не обращая внимания на ее компоненту.

Во-вторых, мы будем пренебрегать влиянием магнитного поля на структуру звезды. Это отдельная и, к сожалению, весьма неопределенная проблема, поскольку никаких данных о магнитных полях в недрах звезд у нас нет. Некоторые качественные соображения на основе теории размерностей будут приведены в следующей главе.

В-третьих, мы будем считать звезды стационарными или, по крайней мере, квазистационарными объектами. В действительности любая звезда эволюционирует, но если связанные с этим изменения происходят медленно, то в уравнениях звездной структуры можно опустить члены, явно описывающие изменение параметров со временем.

Теперь запишем сами уравнения. В стационарной звезде имеет место гидростатическое равновесие, описываемое соотношением

$$
\frac{dp}{dr} = -\frac{GM(r)}{r^2}\rho.
$$ (4.1)

Здесь р - полное давление вещества и излучения, ρ - плотность вещества, М(r) - масса, заключенная внутри сферы с радиусом r (расстоянием от центра), G - постоянная тяготения. Величина М(r) может быть определена интегральным или дифференциальным соотношением

$$
M(r) = \int\limits_0^r 4\pi r^2 \rho dr, \quad \frac{dM}{dr} = 4\pi r^2 \rho.
$$ (4.2)

Внутри звезд отклонение от термодинамического равновесия очень мало и поэтому давление вещества и излучения определяется плотностью ρ, температурой газа и равновесного (чернотельного) излучения Т. Для звезд, построенных из обычного газа, т. е. таких, где нет вырождения электронного газа, полное давление складывается из давления идеального газа и давления излучения:

$$
p = \frac{\mathfrak{R}}{\mu}\rho T + \frac{1}{3}aT^4,
$$ (4.3)

где ℜ - универсальная газовая постоянная, μ - молекулярный вес (атомный вес, приходящийся на одну частицу), а - постоянная плотности излучения ($a = 4\sigma /c = \pi^2k^4/15\, (\hbar c)^3$). В недрах звезд водород, гелий и другие не слишком тяжелые элементы ионизованы почти полностью и поэтому для молекулярного веса имеем

$$
\mu = \frac{1}{2X + \frac{3}{4}Y + \frac{1}{2}Z} \approx \frac{4}{3+5X},
$$ (4.4)

где X - доля водорода, У - доля гелия, Z - доля всех остальных элементов (по весу). Так как X + У + Z = 1 и обычно Z << l, то можно пользоваться второй формулой (4.4).

В белых карликах, а также в центральных частях других звезд электронный газ может быть вырожденным. Выражение для давления нерелятивистского электронного вырожденного газа в случае, когда его температура близка к нулю, было дано формулой (3.44). Теперь приведем соответствующую формулу с учетом температурной поправки:

$$
p = \frac{(3\pi^2)^{2/3}\hbar^2}{5m_e m_p^{5/3}}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{5/3} + \frac{(3\pi^2)^{1/3}m_e}{9\hbar^2 m_p^{1/3}}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{1/3} (kT)^2.
$$ (4.5)

При сильном вырождении электронного газа эта формула оказывается справедливой и при достаточно высокой температуре. Аналогичная формула для релятивистского вырожденного газа имеет вид

$$
p = \frac{(3\pi^2)^{2/3}\hbar c}{4 m_p^{4/3}}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{4/3} + \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{18\hbar c m_p^{2/3}}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{2/3} (kT)^2.
$$ (4.6)

Здесь μe - молекулярный вес, приходящийся на один электрон. Имеем

$$
\mu_e = \frac{1}{X + \frac{1}{2}(Y+Z)} \approx \frac{2}{1+X}.
$$ (4.7)

Надо также учитывать и давление газа, состоящего из атомных ядер. Его можно описать обычным уравнением Клапейрона. Первые члены соотношений (4.5) и (4.6), как мы уже знаем, являются частным случаем уже хорошо известной политропной зависимости между давлением и плотностью:

$$
p(\rho) = K_{\gamma}\rho^{\gamma} = K_\gamma\rho^{1+\frac{1}{n}}.
$$

Политропное уравнение состояния оказывается очень полезным в применении метода подобия. Но, как следует из приведенных выше формул, в реальных условиях звездного вещества строгое политропное соотношение встречается редко. Однако оказывается, что по крайней мере в некоторых задачах можно сохранить принцип подобия, использовав соотношение

$$
p(\rho) = K_{\gamma}\rho^{\gamma} + K_\alpha\rho^\alpha,
$$ (4.8)

где &Kα и α тоже некоторые постоянные. Например, в основной области вырожденного газа в белых карликах или в изотермических вырожденных ядрах звезд-гигантов температура почти одинакова по всей области. Здесь вполне можно использовать (4.8) при α = 1/3 в случае (4.5) и α = 2/3 в случае (4.6).

Переход от нерелятивистского к релятивистскому вырожденному электронному газу можно описать изменением показателя политропы. Например, постепенная релятивизация электронов по мере увеличения плотности может быть учтена заменой показателя 5/3 в (4.5) на величину

$$
\gamma = \frac{5}{3} \left[1 - \frac{1}{7}\left(\frac{\hbar}{m_e c}\right)^2 \left(\frac{3\pi^2\rho}{\mu_e m_p }\right)^{2/3} + ...\right].
$$ (4.9)

Аналогичным образом может быть учтена и неполная релятивизация электронов в (4.6) путем замены 4/3 па показатель

$$
\gamma = \frac{4}{3} \left[1 + \frac{3}{4}\left(\frac{m_e c}{\hbar}\right)^2 \left(\frac{\mu_e m_p }{3\pi^2\rho}\right)^{2/3} + ...\right].
$$ (4.10)

Разумеется, формулы (4.9) и (4.10) справедливы, пока вторые члены в скобках заметно меньше единицы.

Конкретно, использование соотношений (4.9) и (4.10) может сводиться к следующему. Рассчитываются подобные модели с фиксированным, но неопределенным заранее γ , а затем подбирается величина этого показателя так, чтобы его значение соответствовало бы характерной плоскости вырожденного ядра звезды.

Температура газа и излучения, входящая в уравнение (4.3), определяется условиями переноса энергии. Как правило, источники энергии действуют в центральных частях звезды, и перенос ее наружу оказывается существенным для определения всей структуры звезды. Известно несколько механизмов переноса энергии: конвективный, лучистый, электронной теплопроводностью. Наиболее эффективен механизм конвективного переноса энергии, но он не всегда возможен.

Приведем некоторые основные данные об адиабатическом конвективном переносе энергии, которые понадобятся в этой главе. В глубоких слоях звезды конвекция имеет адиабатический характер. Элемент массы газа, случайно оказавшийся более нагретым, поднимается вверх и расширяется по адиабатическому закону. Другие элементы, более холодные, опускаются вниз, сжимаясь также по адиабатическому закону. Высота подъема или опускания конвективных элементов, называемая длиной перемешивания, обычно порядка эквивалентной высоты распределения плотности или давления.

Поскольку движение газа определяется адиабатической зависимостью, то в области конвективного переноса распределение плотности и давления также должно определяться адиабатическими изменениями, а именно здесь имеет место политропное соотношение, где теперь показатель γ есть отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Значение показателя γ зависит от степени ионизации газа и от роли лучевого давления. Там, где ионизация почти полная (глубокие слои звезды) и где газ можно считать одиоатомным, показатель γ равен (см. [5])

$$
\gamma_1 = \left(\frac{\partial \ln p}{\partial \ln \rho}\right)_{\mbox{ад}} = \frac{32 - 24\beta - 3\beta^2}{3(8 - 7\beta)} \approx \frac{5}{3}\beta,
$$ (4.11)

где β - отношение газового давления к полному, т. е.

$$
\beta = \frac{p_g}{p} = \frac{1}{1 + \frac{a\mu m_p}{3k}\frac{T^3}{\rho}}.
$$ (4.12)

Условие $\gamma_1 \approx \frac{5}{3}\beta$ справедливо при 1 - β ≪ 1. Таким образом, в области переноса энергии конвекцией давление и плотность связаны политропной зависимостью, где показатель, однако, тоже может меняться при изменении β с глубиной. Условие политропной зависимости определяет и градиент температуры в этой области. Лучше записать сразу выражение для логарифмического адиабатического градиента температуры по давлению:

$$
\nabla_{\mbox{ад}} = \left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{\mbox{ад}} = \frac{p}{T}\frac{\partial T}{\partial p} = \frac{\gamma_2 - 1}{\gamma_2} = \frac{2(4-3\beta)}{32 - 24\beta - 3\beta^2} = \frac{2}{5}(3\beta - 2) + ...,
$$ (4.13)

где показатель γ2 отличается от γ1 в случае большой роли излучения:

$$
\gamma_2 = \frac{32 - 24\beta - 3\beta^2}{24 - 18\beta - 3\beta^2} = \frac{5}{3}(2\beta - 1) + ...
$$

Очевидно, что γ1 = γ2 = 5/3 в случае β = 1. Различие между γ1 и γ2 связано с тем, что при β ≠ 1 вещество звезды представляет собой газ с двумя политропами, как, например, в формуле (4.8) с разными показателями (γ = 5/3, α = 4/3). Формулы (4.14) и (4.13) определяют "эффективные политропные показатели" полного изменения состояния при адиабатических изменениях.

С глубиной величина β меняется (если исключить случай ρ ∼ Т3), как это следует из (4.13). Но это изменение относительно невелико и, кроме того, в реальных звездах всегда β сравнительно близко к единице. Таким образом, конвективный перенос энергии тоже описывается политропой с медленно меняющимся показателем. Более того, эффективная величина γ меняется и благодаря изменению состояния ионизации вещества. Правда, в глубоких слоях звезд, где водород, гелий и другие легкие элементы ионизованы почти полностью, этим эффектом можно пренебречь, но он весьма существен при анализе конвекции в слоях звезд вблизи поверхности. Но здесь важно учитывать и отклонения от адиабатичности. В следующей главе будет несколько подробнее обсуждаться случай конвекции во внешних слоях звезд.

По формуле (4.13) можно определять градиент температуры только в том случае, когда молекулярный вес не меняется. Если учесть и этот эффект, то к ∇ад в (4.13) добавляется еще одно слагаемое:

$$
\nabla_\mu = \frac{\beta}{4-3\beta}\frac{d \ln\mu}{d \ln p}.
$$

Формула (4.13) вместе с формулой (4.1) определяет и градиент температуры по глубине, т. е. величину dT/dr в области переноса энергии адиабатическими конвективными движениями.

Перенос энергии электронной теплопроводностью оказывается существенным лишь в областях, где велико вырождение электронного газа. К этому вопросу мы вернемся, когда будем рассматривать подобные объекты.

Перейдем, наконец, к лучистому переносу энергии, который играет очень важную роль в определении структуры подавляющего большинства звезд, и к анализу источников энергии. Как правило, уравнение лучистого переноса записывается в диффузионном приближении:

$$
D_r = \frac{d}{dr}(aT^4) = -\frac{L(r)}{4\pi r^2}.
$$ (4.14)

Здесь Dr - коэффициент диффузии энергии излучения, величина L(r) есть количество энергии, генерируемой внутри сферы радиуса r. По определению,

$$
L(r) = \int\limits_0^r 4\pi r^2 \rho\epsilon dr, \quad \frac{dL}{dr} = 4\pi \epsilon\rho r^2.
$$ (4.15)

Здесь ε - количество энергии, освобождающейся в единице массы за единицу времени. Коэффициент диффузии лучистой энергии можно выразить через длину свободного пробега квантов l: Dr = 1/3 lc. Вместо l удобно ввести коэффициент непрозрачности ϰ но формуле l = 1/ϰр и переписать соотношение (4.14) в таком виде:

$$
\frac{d}{dr}\left[\frac{1}{3} aT^4\right] = -\frac{\varkappa L(r)}{4\pi r^2c}\rho.
$$ (4.16)

Эта форма записи удобна и тем, что 1/3 aT4 есть лучевое давление, а формулы (4.16) и (4.1) имеют аналогичный вид.

Величины ϰ и ε , точнее, их зависимости от параметров среды р и Т и от химического состава, играют большую роль в теории внутреннего строения звезд. Очень много внимания уделялось вычислению этих параметров. Обсуждение этих вычислений и их результаты подробно приводились в цитированных выше монографиях по внутреннему строению звезд и, в частности, в статьях Ривса и Кокса (см. сборник [9]). Коэффициент непрозрачности теперь обычно задается в табличной форме. Для современных расчетов на ЭВМ простые аналитические соотношения уже оказываются недостаточными. Величины ε -