Астронет > Размерности и подобие астрофизических величин

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 6.2 Ионизационные фронты и ударные волны высвечивания в межзвездном пространстве | Оглавление | § 6.4 Численное моделирование вспышек и коллапса звезд >>

§ 6.3 Автомодельные движения в звездах и протозвездах

Один из интересных разделов космической газодинамики - исследование движения в звездах ударных волн, возникающих в результате некоторых катастрофических процессов в недрах звезд. Интерес к этим явлениям связан с тем, что выход таких ударных волн на поверхность звезды можно, по-видимому, наблюдать в виде явлений новой или сверхновой. С другой стороны, возможные катастрофические явления в недрах звезд тесно связаны с их эволюцией и объяснение этих явлений важно для понимания всей картины эволюции звезд.

В настоящее время исследования движения ударных волн в звездах в основном проводятся методом численного интегрирования. Развиты и некоторые приближенные методы (см. [6]). Численные методы подробно разрабатывались, в частности, группой В. С. Имшенника и Д. К. Надежина (см. обзор в [28]).

Важность применения численных методов определяется тем, что любой другой способ не позволяет достаточно точно учесть реальную структуру звезды, по которой идет ударная волна, и, следовательно, только при численных расчетах можно надеяться получить хоть в какой-то степени надежные количественные результаты. Но метод автомодельного движения также достаточно полезен. Основной недостаток этого метода применительно к исследованию движения ударных волн в звездах заключается в том, что приходится предполагать степенное распределение плотности в невозмущенной звезде, т. е. считать, что зависимость плотности ρ от расстояния до центра звезды описывается формулой

$\rho(r) = \frac{A}{r^b},$ (6.62)

где b - некоторое число, а A теперь является определяющим параметром с размерностью

$[A] = \mbox{г} \cdot \mbox{см}^{b-3}.$ (6.63)

Разумеется, в реальной звезде распределение невозмущенной плотности ρ(r) не может быть описано формулой (6.62) при любом выборе параметра b. Но, во-первых, такая аппроксимация возможна хотя бы в некоторых слоях звезды, а во-вторых, при этом условии можно легко получить значения параметров движения ударных волн, которые, по крайней мере качественно, можно использовать и для анализа движения ударных волн в более реальных звездных структурах.

Исследование движения ударных волн в звездах методом автомодельного движения было начато в работах Л. И. Седова и К. П. Станюковича (см. [7] и [8]). Затем эти идеи развивались в работах [29-32]. Поскольку в книге Л. И. Седова имеется подробное описание полученных результатов (в основном и принадлежащих Л. И. Седову), то мы ограничимся кратким описанием некоторых выводов.

Исходными являются уравнения сферически-симметричного движения газа с учетом гравитационного притяжения:

$\begin{array}{l} \frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} + \frac{GM_r}{r^2} = 0, \\ \\ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial r}(\rho v) + 2\frac{\rho v}{r} = 0, \\ \\ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) + v \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{p}{\rho^\gamma}\right) = 0, \\ \\ \frac{\partial M_r}{\partial r} = 4\pi r^2\rho. \end{array}$ (6.64)

Здесь, по-прежнему, M_r есть масса внутри сферы радиуса r, но теперь нужно учесть и то, что эта величина зависит также от времени. В случае начального распределения типа (6.62) из уравнений (6.64) легко получить начальные равновесные распределения всех параметров, если положить ∂/∂t = 0. В частности, для M_r имеем

$M_r = \frac{4\pi A}{3-b}r^{3-b}.$ (6.65)

Граничному условию в центре можно удовлетворить, только если b < 3. Полная энергия (гравитационная и тепловая) внутри сферы радиуса r есть (см. [17])

$W_r = \frac{8\pi^2}{\gamma}\frac{1-2(b-1)(\gamma-1)}{(b-1)(3-b)(5-2b)}GA^2r^{5-2b}.$ (6.66)

Случаю b > 2,5 соответствует бесконечная энергия при r → 0 и поэтому этот случай не интересен. Если

$1 < b < \frac{2\gamma - 1}{2(\gamma - 1)}, \quad b < \frac{5}{2},$ (6.67)

то энергия конфигурации внутри сферы радиуса r положительна - такие конфигурации неустойчивы и мы их тоже не будем рассматривать. Наиболее интересен случай

$\frac{2\gamma - 1}{2(\gamma - 1)} < b < \frac{5}{2},$ (6.68)

при котором начальная энергия конфигурации отрицательна, т. е. система устойчива. Этим случаем мы и ограничимся. При γ = 5/3 неравенству (6.68) соответствует узкий интервал 1,75 < b < 2,5. Этот интервал еще уменьшается при уменьшении γ. При γ = 4/3 и левая часть неравенства становится равной 5/2, т. е. это решение будет справедливо только при b = 5/2, когда W_r конечна и не зависит от r.

В такой модели конфигурации есть два параметра с независимыми размерностями. Один из них А - постоянная в формуле распределения плотности (6.62), второй - множитель GA² в формуле (6.66), определяющий начальную энергию конфигурации. Теперь, чтобы применить автомодельный метод, мы должны опустить один из этих двух параметров либо ввести другие параметры с той же размерностью, что и уже имеющиеся.

В частности, здесь можно использовать и теорию сильного взрыва, если считать, что в начальный момент имеет место очень большое выделение энергии в очень небольшой окрестности центра конфигурации. Тогда можно предположить, что энергия взрыва Е много больше энергии в окрестности центра и оставить в качестве определяющих параметров только величины А и Е. Этот случай можно назвать случаем мгновенного точечного взрыва. Пользуясь общими правилами, находим уравнение движения сферически-симметричной ударной волны в звезде с распределением плотности по (6.62):

$r_{\mbox{уд}} = \left(\frac{E}{A}t^2\right)^{\frac{1}{5-b}},$ (6.69)

которое, естественно, сводится к (6.16) при b = 0. Это решение справедливо, пока энергия взрыва остается большей энергии части конфигурации, вовлеченной в движение.

Второй случай, который можно назвать "распределенным взрывом" (замечание Д. К. Надежина), имеет место в конфигурации с b = 5/2. Комбинация GA² имеет размерность энергии. Здесь на область выделения энергии не налагается ограничений и количество выделившейся при взрыве энергии может быть произвольным:

$E = \alpha GA^2,$ (6.70)

где α - некоторая постоянная. Закон движения фронта ударной волны следует сразу из (6.69), куда следует подставить (6.70) и принять b = 5/2, т. е.

$E = (\alpha GAt^2)^{2/5}.$ (6.71)

Формально в этом решении энергия области движения всегда больше энергии конфигурации (при b = 5/2 W_r не зависит от радиуса). Вероятно, решение (6.71) можно использовать для исследования динамики газа в недрах звезд, где может выделяться энергия сразу в большой области, например, при фазовом переходе в состояние вырожденного электронного газа.

Третий случай автомодельности движения можно получить, если считать, что энергия выделяется по закону

$E = \alpha G^{(5-b)/b}A^{5/b}t^{2(5-b)/b}.$ (6.72)

Этот случай опять справедлив и при b ≠ 5/2. Здесь два определяющих параметра, А и G.

Закон движения фронта ударной волны

$r_{\mbox{уд}} = (GAt^2)^{1/b}.$ (6.73)

также сводится к (6.71) при b = 5/2.

Ударные волны замедляются при переходе к менее плотным слоям, если b < 2, и ускоряются при 2 < b ≤ 5/2.

Как уже отмечалось, подробное исследование уравнений автомодельного движения, позволяющее найти распределение плотности, скорости и температуры за фронтом ударной волны, созданной сильным взрывом в центре звезды, дано в книге Л. И. Седова [7]. В частности, оказалось, что у взрывов, создающих очень сильные ударные волны с числом Маха по отношению к скорости звука перед фронтом, равным 6, в центре образуется сферическая полость, лишенная вещества.

Кроме того, в работе [7] приведены и другие частные случаи, в которых удалось получить простые аналитические решения. Интересен, например, случай так называемого взрыва динамического равновесия, позволяющий изучать распад конфигураций, потерявших устойчивость. Предположим, что эта неустойчивость приводит к разлету звезды так, что передний фронт расширяющейся области вблизи центра движется в среде с распределением плотности по (6.62), и примем, что в силу интенсивного взаимодействия с излучением температура газа в расширяющейся области остается однородной по всей этой области, но может меняться со временем. Тогда имеет место автомодельное решение, описывающее движение ударной волны по закону

$r_{\mbox{уд}} = \left(\frac{18\pi GA}{3-b}\right)^{\frac{1}{b}} t^{2/b},$ (6.74)

причем в области, ограниченной этой ударной волной, плотность, давление и температура однородны и меняются по закону

$\rho = \frac{1}{6\pi Gt^2}, \quad p \sim t^{-4\frac{b-1}{b}}, \quad T \sim t^{-2\frac{b-1}{b}}.$ (6.75)

Если при b < 5/2 выполнено условие γ = 2(8b - 15)/3b, то энергия движущегося газа равна его начальной полной энергии - такой взрыв равновесия не требует дополнительных источников энергии.

В работе И. М. Яворской [46] рассматривалось также автомодельное движение детонационных ударных волн в средах с распределением плотности согласно (6.62). Один из существенных результатов этого расчета заключается в том, что распространение детонационной волны с условием Чепмана - Жуге (т. е. с условием, что за фронтом волны скорость газа равна скорости звука) возможно, только если 0 ≤ b ≤ 2γ/(γ+1), где γ - показатель адиабаты покоящегося газа. При вспышках звезд действительно может происходить детонация не сгоревшего водорода, гелия и даже кислорода во внешних слоях и поэтому подобная задача также может найти применение к астрофизическим проблемам.

Методом автомодельных движений рассматривалось и движение разрывов в ультрарелятивистском газе [37, 38].

Правда, как уже отмечалось, в настоящее время движение ударных (и детонационных) волн в звездах исследуется преимущественно численными методами, поскольку распределение плотности в реальных звездах существенно отличается от зависимости (6.62). Кроме того, конкретные свойства звездных ударных волн существенно зависят от условий выделения энергии при взрывах в недрах звезд. Поэтому детальных исследований ударных волн в звездах методом автомодельного движения не было. Ценность этого метода в настоящее время заключается главным образом в том, что с его помощью можно получить качественные оценки поведения ударных волн в объектах, структура которых неизвестна.

Надо отметить, что исследование одного из важнейших явлений нестационарных движений газа в звездах - вспышек сверхновых - представляет интерес и тем, что на раннем этапе вспышки, по-видимому, одновременно применимы и теория сильного взрыва и теория разлета газа в пустоту. Разлет в пустоту описывает расширение и разброс звезды после вспышки, а теория сильного взрыва описывает ударную волну в межзвездной среде (замечание Д. К. Надежина).

Большое значение имеет метод автомодельного движения для исследования коллапса звезд и протозвезд. Например, в работе Д. К. Надежина [33] рассмотрена задача о коллапсе звезды после исчерпания термоядерных источников энергии. Если нейтринное излучение обеспечит достаточно быстрое удаление энергии из недр звезды, то противодавление падает и коллапс протекает очень быстро. Именно такой процесс и рассмотрен в работе [33] методом автомодельного решения. В этой работе для мощности выделения нейтринной энергии принято выражение вида (4.24). Поскольку принимается, что для нейтринного излучения звезда прозрачна, то коэффициент непрозрачности в число определяющих параметров не входит. Важное значение имеет учет противодавления. В работе [33] для общности принимается, что давление зависит от плотности и температуры как:

$p = p_0\rho^{\xi}T^\eta,$ (6.76)

где ξ и η - некоторые числа (см. формулу (4.62)). В этой задаче есть три размерных параметра, G, ε₀ и р₀, но оказалось, что параметров с независимыми размерностями всего два. В качестве первого параметра можно выбрать G, а второй размерный параметр выбирается согласно [33] в виде

$A = \left(\frac{(4\pi G)^{m_1}p_0^n}{\epsilon_0|\delta|^{2(n_1 + m_1)-3}}\right)^{0,5(n_1 - 1)},$ (6.77)

где показатели m₁, n₁ и γ выражаются через показатели m и m в законе выделения энергии, ξ и η в выражении для давления, а также показатель адиабаты γ следующими формулами:

$\begin{array}{l} n_1 = \frac{n}{\eta}, \quad m_1 = m - \frac{n}{\eta}(1-\eta)(\gamma - 1), \quad \delta = \frac{n_1 + m_1 - 3/2}{n_1 - 1}. \end{array}$ (6.78)

Используя два размерных параметра А и G, можно перейти в системе (6.64) к автомодельным переменным. Следует только в последнее уравнение включить член, описывающий потери энергии на нейтринное излучение. Не будем здесь выписывать эти уравнения, а приведем сразу результаты расчетов.

В работе [33] было показано, что при любых γ и 5 есть решение, соответствующее свободному сжатию однородной сферы, т. е. соответствующее случаю, когда противодавление равно нулю. В этом решении плотность считается одинаковой по всей звезде, но меняется со временем по закону

$\rho = \frac{\delta^2}{6\pi Gt^2}.$ (6.79)

Скорость движения границы сферы определяется обычной формулой автомодельности

$v = -\frac{2}{3}\delta At^\delta .$ (6.80)

Но, кроме этого, оказалось, что если показатель адиабаты превышает некоторый предел

$\gamma > \gamma_k = 2 - \delta,$ (6.81)

то появляется еще одно решение, в котором автомодельность сохраняется и при учете противодавления. Эти решения анализируются в [33] численным методом. Рассматривались, в частности, примеры вспышек сверхновых II типа, когда нейтринное излучение обязано "урка"-процессу (значения параметров: m = 0, n = 6, γ_k), а также коллапс массивных звезд, где нейтринное излучение обязано образованию электронно-позитронных пар при высокой температуре (m = -1, n = 9). В последнем случае не удалось получить физически разумного решения.

Этим же методом И. Г. Колесником и Д. К. Надежиным [34] была рассмотрена задача о сжатии протозвезды. Предполагается, что протозвезда прозрачна для генерируемого внутри нее электромагнитного излучения. При низких температурах основной механизм электромагнитного излучения - возбуждение вращательных уровней молекулы водорода H₂. Мощность потерь энергии определяется формулой (см. [32]):

$\epsilon = \epsilon_0T^{3,7} = 1,67 \cdot 10^{-9}\,T^{3,7}\,\, \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{г} \cdot \mbox{сек}}.$ (6.82)

Это излучение сосредоточено в инфракрасной области спектра и, согласно условию автомодельности, предполагается, что протозвезда прозрачна для инфракрасных лучей.

Автомодельность задачи характеризуется двумя размерными параметрами: G и

$A = \frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{\Re}{\mu}\right)^{3,7},$ (6.83)

причем размерность последнего

$[A] = \frac{\mbox{см}^{5,4}}{\mbox{сек}^{4,4}}.$ (6.84)

Отсюда безразмерный аргумент всех функций автомодельного движения будет иметь вид

$\lambda = \frac{r}{A^{5/22}t^{22/27}}.$ (6.85)

Далее, согласно обычному методу автомодельного движения с двумя определяющими параметрами записываются уравнения для безразмерных плотности, давления и температуры. При этом целесообразнее выделить в плотности множитель, описывающий сжатие, в следующем виде:

$\rho(r,t) = \frac{R(\lambda)}{4\pi Gt^2}.$ (6.86)

При свободном сжатии однородной сферы, как мы знаем, R(λ) = const, но в работе [34] учитывалась и неоднородность сжатия. Уравнения для R(λ), V(λ) и других переменных решаются только численно. Поэтому приведем только некоторые конечные результаты. В процессе сжатия растут центральная температура T_c и центральная плотность ρ_c так, что

$\frac{\rho_c}{T_c^{5,4}} = const,$ (6.87)

т. е. T_c растет с увеличением сжатия гораздо медленнее, чем, например, при адиабатическом сжатии. Условие (6.87) соответствует значению эффективного параметра γ_eff = 6,4/5,4 ≈ 1,2. Функция R(λ) при λ > 1 очень быстро падает, V(λ) сначала падает с ростом λ , имеет минимум и затем возрастает.

Легко рассчитать и полную светимость сжимающейся протозвезды:

$L = 4\pi\int\limits_0^\infty\rho\epsilon r^2 dr = \left(\frac{\Re}{\mu}\right)^{3,4} \frac{l_0}{G\epsilon_0^{0,93}}t^{-\frac{25}{27}} = L_n t^{-\frac{25}{27}},$ (6.88)

где l₀ - некоторая численная постоянная, L_n ≈ (1,5-2,6) ⋅ 10⁴² эрг ⋅ сек^-2/27. Было также показано, что полное время сжатия в автомодельном режиме происходит в несколько раз медленнее, чем в случае свободного сжатия с однородной плотностью. Это связано с преимущественным нагреванием внутренних слоев и появлением противодавления.

На рис. 24 показано сравнение автомодельного решения с результатами численного расчета. Видно, что автомодельное решение, по крайней мере на некоторых стадиях сжатия, дает достаточно удовлетворительное согласие с численными расчетами полных уравнений.

Рис. 24. Зависимость светимости сжимающейся протозвезды от времени.
Прямая линия - автомодельный расчет, точки - численный расчет.

Как уже неоднократно подчеркивалось, метод автомодельных решений применим только в тех случаях, когда движение полностью характеризуется двумя размерными параметрами - А, включающем в себя размерность массы, и B, в который входят размерности длины и времени.

Если оба параметра известны, то решение задачи на автомодельное движение находится сразу, аналитически или численно. Но может встретиться и случай, когда по тем или иным причинам один из размерных параметров, например B, не удается определить по условиям задачи, но из физических соображений следует, что такой параметр в действительности существует. Оказывается, что и в этом случае можно решить всю задачу на автомодельное движение, определив заодно и параметр B. Идея метода решения этих задач была предложена Л. Д. Ландау, подробное изложение метода дано в книгах [8] и [35].

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть параметр А известен, а параметр B с размерностью [B] = см^k₃ ⋅ сек^k₄ надо найти. Но поскольку мы считаем движение автомодельным, то оно должно описываться уравнениями (6.8) - (6.12). Мы не можем только сразу решать эту систему, поскольку не знаем величины δ = -k₃/k₄ и ϰ из (6.11). Но можно попытаться исследовать решение этих уравнений методом проб. Зададим произвольно значение δ, определим ϰ из (6.11) и построим интегральную кривую.

Эта кривая должна удовлетворять очевидному физическому условию - все функции V(λ), R(λ), Z(λ) должны быть в любых точках этой кривой конечными. Иначе кривая, построенная с заданным значением δ, не имеет физического смысла, поскольку по условию ни плотность, ни скорость нигде не обращаются в бесконечность.

Ограниченность решений налагает определенные условия на величины V, R и Z - числители и знаменатели уравнений системы (6.8) - (6.12) должны одновременно обращаться в нуль. Для иллюстрации рассмотрим пример почти изотермического движения (γ = 1) с выбором плотности в качестве определяющего параметра (т. е. k₁ = -3, k₂ = 0). Тогда интегральная кривая, описывающая решение, имеющее физический смысл, должна обязательно пересечь линию в пространстве (V, R, Z), удовлетворяющую уравнению

$Z = (V-\delta)^2, \quad V(V-1)(V-\delta) + (1 - \delta - \nu V)Z = 0.$ (6.89)

Это уравнение легко получить, приравняв числители и знаменатели уравнений (6.8) - (6.10) нулю при заданном выборе параметров.

Совершенно очевидно, что при произвольном выборе δ мы не попадем на особую кривую типа (6.89). Задача заключается в том, чтобы путем проб найти то значение δ, при котором интегральная кривая системы уравнений (6.8) - (6.12) при заданных граничных условиях пройдет и через особую кривую.

После определения δ размерность параметра B уже известна. Правда, его численное значение осталось неопределенным, но для нас важнее всего именно размерность этого параметра, поскольку только она определяет законы движения разрывов и ударных волн.

С помощью современной вычислительной техники решение задачи о нахождении интегральной кривой системы обыкновенных дифференциальных уравнений не является очень трудной проблемой.

В книгах [8] и [35] описано несколько задач, решенных подобным способом. В частности, этим методом решена задача о схлопывании симметричной кумулятивной ударной волны, идущей к центру по первоначально однородному покоящемуся газу. В этом случае параметр δ зависит только от выбора показателя адиабаты γ описывающего скачок плотности на фронте ударной волны. Методом проб найдены значения δ для случая цилиндрической и сферической симметрии (табл. 10).

Таблица 10

	Цилиндрическая симметрия ν=2				Сферическая симметрия ν=3
γ	1	7/5	3	∞	1	7/5	3	∞
δ	1	0,834	0,810	1/2	1	0,717	0,638	3/8

Строго изотермическому движению соответствует δ = 1 - это очевидно, поскольку мы знаем определяющий параметр $B = \sqrt{\Re T/\mu}$ . с известной размерностью скорости звука. Зная параметр δ, сразу определяем законы движения ударной кумулятивной ударной волны:

$r_{\mbox{уд}} \sim (t_0 - t)^\delta, \quad v_{\mbox{уд}} \sim (t_0 - t)^{\delta - 1} \sim r_{\mbox{уд}}^{\frac{2(\delta - 1)}{\delta}},$ (6.90)

где t₀ - момент времени, в который кумулятивная ударная волна сходится к центру. Плотность газа за фронтом сильной кумулятивной ударной волны остается одинаковой (и равной (γ + 1)/(γ - 1) от первоначальной плотности), но давление, а следовательно, и температура растут:

$p_2 \sim T_2 \sim (t_0 - t)^{\frac{2}{\delta - 1}} \sim r^{\frac{2(\delta - 1)}{\delta}}.$ (6.91)

Из соображений анализа размерностей определяются распределения давления газа и его скорости в момент схлопывания, т. е. при t=t₀. Здесь имеем три размерные величины: [r]=см, [v] =см/сек и определенный теперь параметр B с найденной размерностью [B]=см/сек^δ. Отсюда [35]

$\begin{array}{l} v = B^{1/\delta}r^{-(1-\delta)/\delta}, \\ p \sim r^{-2(\delta - 1)/\delta}. \end{array}$ (6.92)

После схлопывания ударная волна отражается от центра и движется наружу через газ, который продолжает стекаться к центру. Движение сохранило свою автомодельность, поэтому у расходящейся ударной волны

$r \sim (t-t_0)^\delta.$ (6.93)

Общее увеличение плотности за фронтом расходящейся ударной волны велико - при γ = 7/5 плотность возрастает в 137,5 раза по сравнению с невозмущенной плотностью до прохождения кумулятивной ударной волны.

Задача о движении газа к центру сферической конфигурации и возникновении ударных волн имеет целый ряд важных астрофизических применений.

Например, в работе [36] рассмотрена следующая модель. Пусть граница горячей зоны Н II, давление внутри которой велико, при своем движении встретила плотное непрозрачное газовое облако Н I (глобулу) с низкой температурой и поэтому относительно невысоким давлением. Тогда зона Н II окружит глобулу со всех сторон и начнет ее сжимать. Образуется ударная волна, идущая к центру глобулы и еще больше сжимающая ее. После отражения от центра возникает расходящаяся волна. В результате образуется очень плотное облако, из которого при дальнейшем развитии джинсовской неустойчивости могут конденсироваться звезды. В работе [36] рассматривалось строго изотермическое давление, чему соответствует значение γ = 1. Уравнения движения такие же, как в предыдущем параграфе, где рассматривались ионизационные разрывы, и поэтому можно использовать описанный там метод. В частности, в этом случае сходящаяся к центру ударная волна имеет такой же характер, что и ударная волна, сжимающая газ в зоне Н I перед ионизационным фронтом. Но здесь важно учесть сферичность фронтов. Приближенный расчет показал, что в этом случае действительно достигается огромное увеличение плотности. Когда сходящаяся сферическая ударная волна достигает центра глобулы, плотность газа там оказывается порядка

$\frac{\rho_c}{\rho_1} \approx \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\frac{\mu_1 T_2}{\mu_2 T_1}\right)^3 = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^3.$ (6.94)

Здесь ρ₁ и p₁ - плотность и давление внутри глобулы до ее сжатия, ρ₂ и p₂ - плотность и давление сжимающего глобулу ионизационного фронта. Скорость ударной волны близка к скорости ионизационного разрыва, т. е. к $\sqrt{\Re T_2/\mu_2}$ . Отраженная волна еще увеличивает плотность на множитель порядка μ₁T₂/μ₂T₁. Таким образом, общее увеличение плотности может достигать трех-пяти порядков, если температура внутри глобулы остается низкой.

Разумеется, рассмотрение подобной задачи в рамках предположения изотермичности движения весьма ограничивает применимость теории к реальным задачам. С другой стороны, приведенные выше решения автомодельной задачи о коллапсе, не учитывающие возможность образования кумулятивных ударных волн, созданных внешним давлением, также недостаточны. На очереди создание более полной теории сжатия и коллапса звезд и протозвезд с учетом всех существенных факторов. Вероятно, методы теории автомодельного движения сыграют здесь не последнюю роль.

Методом определения параметра δ Г. М. Гендельман и Д. А. Франк-Каменецкий рассчитали выход ударной волны на поверхность звезды ([31], см. также [32]). Предполагалось, что плотность вещества в поверхностных слоях звезды увеличивается с глубиной h, отсчитываемой от поверхности, по некоторому политропному закону:

$\rho(h) = Ah^b,$ (6.95)

где b - некоторое число, а определяющий параметр А имеет размерность [А] = г ⋅ см^-(3+b). Опять полагая λ = h/Bt^δ и выбирая интегральную кривую, проходящую через особую кривую автомодельной системы уравнений, авторы работ [31] и [32] находят значения δ для разных γ и b (табл. 11):

Таблица 11

	b
γ	3,25	2	1	0,5
5/3	0,590	0,696	0,816	0,877
7/5		0,718	0,831	0,906
6/5		0,752	0,855	0,920

Случай b = 3,25 соответствует атмосфере звезды, в которой энергия переносится излучением в случае коэффициента поглощения Крамерса ϰ ∼ ρ T^-7/2.

Уравнение движения фронта ударной волны и ее скорость имеют вид:

$h_2 \sim (t_0 - t)^\delta, \quad v_{\mbox{уд}} \sim (t_0 - t)^{1-\delta} \sim h^{-(1-\delta)/\delta},$ (6.96)

где t₀ - момент выхода ударной волны на поверхность. Поскольку здесь v_уд → ∞, то решение нельзя продолжать до самой границы звезды. Это следует и из физических соображений - вблизи границы звезды велико излучение газа, которое затормозит волну.

Сразу за фронтом волны температура растет быстро (как Т ∼ v_уд² ∼ h^-2(1-δ)/δ), но давление даже уменьшается из-за падения плотности:

$p_2 \sim \rho v_{\mbox{уд}}^2 \sim h^{b - \frac{2(1-\delta)}{\delta}}.$ (6.97)

В заключение заметим, что было разработано несколько приближенных (но не автомодельных) методов расчета движения ударных волн в неоднородной среде. Обзор этих методов дан в книге И. А. Климишина [6]./// Используя различные методы, можно получить следующий аппроксимационный закон движения ударной волны в сферически-симметричной среде с переменной плотностью [36]:

$p_2 \sim \rho v_{\mbox{уд}}^2 \sim h^{b - \frac{2(1-\delta)}{\delta}}.$ (6.98)

Для случая движения плоской ударной волны в атмосфере с распределением плотности (6.95) отсюда следует значение показателя автомодельности:

$\delta = \frac{4}{4+b},$ (6.99)

что при b = 3,25 приводит к δ ≈ 0,55, а при b = 1 дает γ = 0,80, в хорошем согласии с результатами определения величины γ методом подбора интегральной кривой.

<< § 6.2 Ионизационные фронты и ударные волны высвечивания в межзвездном пространстве | Оглавление | § 6.4 Численное моделирование вспышек и коллапса звезд >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце