Астронет > Размерности и подобие астрофизических величин

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 3.3 Белые карлики, нейтронные звезды и "черные дыры" | Оглавление | § 3.5 Выражение массы и светимости звезд через мировые постоянные >>

§ 3.4 Характерные времена отдельных этапов эволюции звезд

В жизни каждой звезды можно выделить несколько отдельных стадий. Начальная стадия, обычно называемая протозвездой, представляет собой конденсацию или сжатие газового облака, Здесь энергия выделяется за счет гравитационного сжатия. Состояние звезды (протозвезды) на этой стадии нестационарно, и подобные объекты наблюдаются в виде звезд типа Т-Тельца и некоторых других классов нестационарных звезд.

Когда при сжатии температура в центре протозвезды достигнет некоторого порогового значения, включаются термоядерные источники энергии. Звезда попадает на главную последовательность, где пребывает довольно долго, пока не выгорит водород в ее центральной части. Затем начинаются перемежающиеся этапы гравитационного сжатия и выгорания водорода, гелия и других элементов в ядрах и слоистых источниках звезд. Это стадия звезд гигантов и сверхгигантов, которая проходится сравнительно быстро.

Наконец, сбросив некоторое количество массы, звезда, лишившись термоядерных источников, начинает остывать. Это стадия белых карликов и нейтронных звезд (в зависимости от массы). По-видимому, здесь высвечивается также и энергия вращения.

Современная теория внутреннего строения звезд позволяет довольно уверенно рассчитать их эволюцию по крайней мере на большей части этих этапов. Численные результаты оценок времени эволюции на отдельных этапах будут приведены в следующей главе. Здесь же на основе соображений анализа размерностей будут получены приближенные оценки характерных времен трех этапов эволюции звезд: гравитационного сжатия, пребывания на главной последовательности, остывания белого карлика.

Начнем с обсуждения динамики гравитационного сжатия. Рассмотрим звезду, в которой по той или иной причине, например в силу потери устойчивости, началось сжатие. При этом растет плотность газа, его температура, а следовательно, и давление. Предположим, что рост давления можно описать политропным законом (3.15). Это означает, что в газовой звезде (или протозвезде) по мере увеличения плотности

$p \sim \rho T \sim \rho^{\gamma}, \quad T \sim \rho^{\gamma-1}.$ (3.59)

Как мы уже знаем, в сжимающейся системе рост давления может остановить сжатие только, если в политропном уравнении состояния показатель γ > 4/3 (см. формулу (3.21)). Таким образом, вся динамика процесса зависит от того, как быстро растет температура и плотность при гравитационном сжатии. Если сжатие газа в звезде происходит адиабатически, т. е. без потери энергии на излучение, то давление изменяется по той же политропной формуле (3.15), но теперь γесть отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Для одноатомного газа γ = 5/3, т. е. больше 4/3. Для двухатомного молекулярного газа γ = 7/5, т. е. тоже больше 4/3. Поэтому адиабатическое изменение состояния должно остановить гравитационное сжатие. Правда, и при адиабатическом сжатии возможно заметное уменьшение γ, даже ниже предела 4/3, если учесть ионизацию вещества в процессе сжатия или образование пар, т. е. в тех случаях, когда энергия сжатия используется при возбуждении "внутренних" степеней свободы. Но такое изменение показателя γ обычно имеет место только на некоторых этапах сжатия, после прохождения которых показатель γ возвращается к прежнему большему значению.

Более заметное уменьшение γ имеет место при не адиабатическом сжатии, когда тепловая энергия уносится излучением или нейтрино. В предельном случае, когда вся освобождающаяся при сжатии энергия уносится беспрепятственно, температура системы остается постоянной и сжатие происходит изотермически. Здесь р ∼ ρ и γ = 1. Изотермическое уравнение состояния не может остановить гравитационное сжатие.

Таким образом, мы можем различать два случая - адиабатическое сжатие, или сжатие с небольшой потерей тепловой энергии, которое кончается образованием равновесных или квазиравновесных конфигураций, и беспрепятственное сжатие при существенной потере тепловой энергии. В первом случае динамика сжатия определяется конкретными данными об изменении уравнения состояния в процессе сжатия. Задача расчета такого сжатия имеет много определяющих параметров и поэтому достаточно трудна.

Во втором случае беспрепятственного сжатия давление (и вообще характеристики уравнения состояния) выпадает из числа основных определяющих параметров, и методы анализа размерностей дают более однозначные результаты.

Для определения характерного времени сжатия без противодействующего давления имеем следующие определяющие параметры: G, М и R, из которых образуется такая комбинация с размерностью времени:

$t_{\mbox{гр.с}} \approx const \sqrt{\frac{R^3}{GM}}.$ (3.60)

Численная константа зависит от распределения плотности в сжимающейся среде. Для случая шара с однородной плотностью, которая остается однородной и в процессе сжатия,

$t_{\mbox{гр.с}} = \sqrt{\frac{1}{6\pi G\rho}}.$ (3.61)

Характерное время сжатия определяется только начальной плотностью ρ - это означает, что по мере увеличения плотности скорость сжатия v убыстряется:

$v = \frac{R}{t_{\mbox{гр.с}}} = \sqrt{\frac{GM}{R}} \approx G^{1/2}M^{1/3}\rho^{1/6}.$ (3.62)

Очевидно, что скорость сжатия меняется так же, как параболическая скорость, но остается, разумеется, все время меньше ее.

Для численных оценок обратимся к наблюдениям. Молодые сжимающиеся объекты (объекты Хербига - Харо), как правило, связаны с газопылевыми туманностями. Измерения плотности туманностей в окрестностях молодых звезд приводят к значениям электронной концентрации, которые заключены в пределах п n_e ≈ 10² - 10⁴ см^-3. Если принять за характерное значение плотности величину n_e ≈ 10³ см^-3; ρ ≈ 10^-21 г ⋅ см^-3, то для времени сжатия протозвезды, обособившейся из этой туманности, получим величину t_гр.с ≈ 3 ⋅ 10¹³ сек ≈ 10⁶ лет.

Возможно, что плотности, с которых начинается сжатие, и больше, тогда время сжатия соответственно меньше. Вероятно, стадия протозвезд продолжается всего несколько сотен тысяч или несколько миллионов лет. Детальное описание процесса сжатия протозвезд с соответствующими численными оценками приведено в книге [1].

Стадии гравитационного сжатия продвинутых во времени этапов эволюции звезд также могут оцениваться по формуле (3.61). Естественно, что они много короче, так как плотность больше. Подробное описание также см. в [1].

Динамика гравитационного сжатия будет рассмотрена в гл. 4 в разделе о методах теории автомодельного движения.

Очень просто оценивается и характерное время пребывания звезды на главной последовательности. Как известно, светимость звезды на главной последовательности однозначно определяется ее массой, поэтому темп расхода энергии известен.

Остается определить запас термоядерной энергии. Известно, что при превращении водорода в гелий освобождается энергия связи нуклонов в ядре, примерно равная 0,7% от их энергии покоя. Будем для оценки считать, что водорода в звездах 70% и что половина его превращается в гелий на стадии главной последовательности. Тогда запас термоядерной энергии

$U_{\mbox{т.я}} \approx 0,007 \cdot 0,7 \cdot 0,5 Mc^2 \approx 2,5 \cdot 10^{-3}Mc^2.$ (3.63)

Учитывая соотношение масса - светимость (3.11) и полагая там численный множитель равным единице, находим время пребывания на главной последовательности:

$t_{\mbox{гл.п}} = \frac{U_{\mbox{т.я}}}{L} \approx 4 \cdot 10^{10} \left(\frac{M_\odot}{M}\right)^2 \mbox{лет}.$ (3.64)

Разумеется, численный множитель оценен грубо, по порядок характерного времени пребывания на главной последовательности эта формула дает правильный. Верхний предел массы стационарных звезд порядка 60 М_☉. Эти звезды проводят на главной последовательности всего несколько миллионов лет. С другой стороны, звезды с массами меньше солнечной практически не успевают сойти с главной последовательности за космологическое время.

Более подробное изложение вопроса о времени жизни звезды на отдельных этапах их эволюции на главной последовательности и после нее дано в следующей главе. Теперь рассмотрим последнюю стадию эволюции звезд - состояние карлика. Их образование связано с исчерпанием термоядерной энергии сначала в центральных частях звезд, а потом в окружающих центральное ядро слоях. Возможно, что при этом также сбрасываются внешние оболочки с сохранившимся запасом водорода. После того как все термоядерные источники энергии израсходованы, начинается остывание остатка звезды - белого карлика. Получим соотношения, описывающие этот процесс.

Большая часть белого карлика состоит из вырожденного электронного газа, который, как и свободные электроны в металле, образующие вырожденный газ, обладают хорошей теплопроводностью. Поэтому температура внутри вырожденной части белого карлика быстро выравнивается и ее можно считать почти постоянной. Обозначим величину температуры в недрах белого карлика через T_d. Наружный слой белого карлика состоит из обычного газа с плохой теплопроводностью и поэтому, хотя толщина этого слоя не более нескольких процентов от радиуса белого карлика, весь перепад температуры происходит именно в этом слое. Будем считать, что здесь перенос энергии осуществляется излучением с коэффициентом непрозрачности Крамерса (2.54) - (2.56).

Вычислим величину коэффициента непрозрачности на границе между наружным слоем обычного газа и внутренней областью вырожденного электронного газа. Плотность вещества на этой границе определяется сравнением давлений обычного газа, описываемого формулой Клапейрона, и давлением вырожденного электронного газа согласно (3.44):

$\frac{\mathfrak{R}T_d}{\mu_d}\rho_d \approx \frac{\hbar^2}{m_e}\left(\frac{\rho_d}{\mu_e m_p}\right)^{\frac{5}{3}} .$ (3.65)

Численные множители порядка единицы опускаем, и решение (3.65) дает плотность вещества при заданной температуре T_d, с которой начинается вырождение электронного газа:

$\rho_d \approx \mu_e m_p \left(\frac{\mu_e}{\mu_d}\frac{m_e kT_d}{\hbar^2}\right)^{\frac{3}{2}}$ (3.66)

Здесь следует различать электронный молекулярный вес μ_e, который всегда близок к двум, и обычный молекулярный вес внутри белого карлика μ_d, который может быть и много больше, если выгорели и водород, и гелий. Подставляя (3.66) в (3.43), получим

$\varkappa \approx \frac{e^2}{\hbar c} \left(\frac{e^2}{kT_d}\right)^2 \left(\frac{\mu_e}{\mu_d}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{m_p} = \frac{\varkappa_d}{T_d^2}.$ (3.67)

Таким образом, характерным параметром переноса энергии излучением во внешних слоях белых карликов является величина ϰ_d с размерностью

$[\varkappa_d] = \frac{\mbox{см}^2}{\mbox{г}} \cdot \mbox{град}^2.$ (3.68)

Запас тепловой энергии белого карлика есть Mℜ T_d/μ_d. В процессе остывания температура Тл меняется. Следовательно, определяющим параметром является величина Mℜ/μ_d с размерностью

$\left[\frac{M\mathfrak{R}}{\mu_d}\right] = \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}{\mbox{см}^2 \cdot \mbox{град}}.$ (3.69)

Для того чтобы исключить размерность градуса, составим из (3.68) и (3.69) новый определяющий параметр

$\left[\varkappa_d\left(\frac{M\mathfrak{R}}{\mu_d}\right)^2\right] = \frac{\mbox{г}\cdot\mbox{см}^6}{\mbox{сек}^7}.$ (3.70)

Итак, процесс остывания белого карлика должен определяться только его массой М и величиной (3.70). С течением времени меняется температура T_d белого карлика и его светимость L. Для нахождения зависимости L(t) составим матрицу размерности:

$\begin{matrix} \, & [M] & \left[\varkappa_d\left(\frac{M\mathfrak{R}}{\mu_d}\right)^2\right] & [L] & [t_d] \\ \mbox{г}&1&1&1&0 \\ \mbox{см}&0&6&2&0 \\ \mbox{сек}&0&-7&-3&1\\ \end{matrix}$

ешая соответствующую систему уравнений, находим безразмерный комплекс, из которого и следует искомая зависимость:

$L \approx \sqrt[3]{\varkappa_d\left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu_d}\right)^2 \frac{M^4}{t^5}} .$ (3.71)

Отсюда находим характерное время остывания белого карлика с заданной светимостью L:

$t_{\mbox{ост}} \approx \sqrt[5]{\frac{\varkappa_d}{L^3}\left(\frac{\mathfrak{R}}{\mu_d}\right)^2 M^4} \approx 10^5 \sqrt[5]{\left(\frac{L_\odot}{L}\right)^3 \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^4} \mbox{лет}.$ (3.72)

Теперь нетрудно найти и зависимость от времени температуры внутри белого карлика, воспользовавшись очевидным соотношением

$\frac{M\mathfrak{R}}{\mu_d} \frac{dT_d}{dt} \approx L \sim t^{-\frac{5}{3}},$

откуда T_d ∼ t^-2/3.

<< § 3.3 Белые карлики, нейтронные звезды и "черные дыры" | Оглавление | § 3.5 Выражение массы и светимости звезд через мировые постоянные >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце